Dada una clase de estructuras dotadas de un producto $(K, \times)$ la cuestión de si $X^3 \cong X \implies X^2 \cong X$ es válida para cada $X \in K$ a veces se denomina problema del cubo para $K$ y si la respuesta es positiva, entonces $K$ se dice que tiene el propiedad del cubo . Para que la cuestión no sea trivial es necesario que haya infinitas estructuras $X \in K$ que son isomorfas a $X^3$ . Si existen tales estructuras, normalmente es posible encontrar una que atestigüe el fallo de la propiedad del cubo para $K$ es decir, un $X \in K$ tal que $X \cong X^3$ pero $X \not\cong X^2$ . Por otro lado, en casos raros la propiedad del cubo se mantiene de forma no trivial.
Trabajé en el problema del cubo para la clase de órdenes lineales bajo el producto lexicográfico, y mientras lo hacía tuve la oportunidad de investigar la historia del problema para otras clases de estructuras. La siguiente lista contiene la mayoría de los resultados que conozco.
Cuando la propiedad del cubo falla
-- Hasta donde yo sé, el primer resultado sobre el fracaso de la propiedad del cubo se debe a Hanf, quien demostró en [1] que existe una álgebra booleana $B$ isomorfo a $B^3$ pero no $B^2$ . El ejemplo de Hanf es de tamaño $2^{\aleph_0}$ .
-- Tarski [2] y Jónsson [3] adaptaron el resultado de Hanf para obtener ejemplos que muestran el fracaso de la propiedad del cubo para la clase de semigrupos, la clase de grupos, la clase de anillos, así como otras clases de estructuras algebraicas. La mayoría de sus ejemplos son también de tamaño continuo.
Durante algún tiempo, después de la publicación de estos resultados, se desconocía si existían ejemplos contables que atestiguaran el fracaso de la propiedad del cubo para estas diversas clases. Especialmente famoso fue el llamado "problema del cubo de Tarski", que preguntaba si existe un álgebra booleana contable isomorfa a su cubo pero no a su cuadrado.
-- Como respondió Tom Leinster, Corner [4] demostró, por una vía muy diferente, que efectivamente existe un grupo abeliano contable isomorfo a su cubo pero no a su cuadrado. Más tarde, Jones [5] construyó un generado finitamente grupo (necesariamente no abeliano) isomorfo a su cubo pero no a su cuadrado.
-- Más o menos al mismo tiempo que el resultado de Corner, varios autores [6, 7] demostraron que existen módulos sobre ciertos anillos isomorfos a sus cubos pero no a sus cuadrados.
-- Como respondió Asher Kach, el problema del cubo de Tarski fue finalmente resuelto por Ketonen, quien demostró en [8] que sí existe un álgebra booleana contable isomorfa a su cubo pero no a su cuadrado.
El resultado de Ketonen es en realidad mucho más general. Sea $(BA, \times)$ denotan la clase de álgebras booleanas contables bajo el producto directo. Si $(S, \cdot)$ es un semigrupo, entonces $S$ se dice que está representado en $(BA, \times)$ si existe un mapa $i: S \rightarrow BA$ tal que $i(a \cdot b) \cong i(a) \times i(b)$ y $a \neq b$ implica $i(a) \not\cong i(b)$ . La afirmación de que existe un álgebra booleana contable isomorfa a su cubo pero no a su cuadrado es equivalente a la afirmación de que $\mathbb{Z}_2$ puede representarse en $(BA, \times)$ . Ketonen demostró que cada semigrupo conmutativo contable puede ser representado en $(BA, \times)$ .
-- A partir de la década de 1970, empezaron a aparecer ejemplos que mostraban el fracaso de la propiedad del cubo para varias clases de estructuras relacionales. Por ejemplo, Koubek, Nešetril y Rödl mostraron que la propiedad del cubo falla para la clase de los órdenes parciales, así como para muchas otras clases de estructuras relacionales en su artículo [9].
-- A lo largo de los años 70 y 80, Trnková y sus colaboradores demostraron el fracaso de la propiedad del cubo para una amplia gama de clases topológicas y relacionales de estructuras. Al igual que el resultado de Ketonen, sus resultados son mucho más generales.
Sus resultados topológicos están resumidos en [10], y las referencias se dan allí. Algunos puntos destacados:
- Existe un espacio métrico compacto $X$ homeomorfo a $X^3$ pero no $X^2$ . De forma más general, todo grupo abeliano finito puede representarse en la clase de espacios métricos compactos.
- Todo grupo abeliano finito puede ser representado en la clase de espacios separables, compactos, de Hausdorff y de 0 dimensiones.
- Todo semigrupo conmutativo contable puede representarse en la clase de espacios paracompactos contables.
- Todo semigrupo conmutativo contable puede representarse en la clase de espacios contables de Hausdorff.
Sus resultados relacionales se refieren principalmente a mostrar el fracaso de la propiedad del cubo para la clase de grafos. Por ejemplo:
- Todo semigrupo conmutativo puede representarse en $(K, \times)$ , donde $K$ es la clase de gráficos y $\times$ puede tomarse como el producto tensorial (categórico), el producto cartesiano o el producto fuerte [11].
- Existe un conectado gráfico $G$ isomorfo a $G \times G \times G$ pero no $G \times G$ , donde $\times$ puede tomarse como el tensor o producto fuerte. En 1984 se desconocía si $\times$ podría ser el producto cartesiano [12].
-Respondiendo a una pregunta de Trnková, Orsatti y Rodino demostraron que incluso hay una conectado espacio topológico homeomorfo a su cubo pero no a su cuadrado [13].
-Más recientemente, como respondió Bill Johnson, Gowers demostró que existe un espacio de Banach linealmente homeomorfo a su cubo pero no a su cuadrado [14].
--Eklof y Shelah construyeron en [15] un $\aleph_1$ -grupo separable $G$ isomorfo a $G^3$ pero no $G^2$ respondiendo a una pregunta en ZFC que anteriormente sólo se había respondido bajo hipótesis extra de teoría de conjuntos.
-Eklof revisó el problema del cubo para los módulos en [16].
Cuando la propiedad del cubo se mantiene
Hay casos raros en los que la propiedad del cubo se mantiene de forma no trivial.
-- Se mantiene para la clase de conjuntos bajo el producto cartesiano: cualquier conjunto en biyección con su cubo es infinito, vacío, o un singleton, y por lo tanto en biyección con su cuadrado. Esto se puede demostrar fácilmente utilizando el teorema de Schroeder-Bernstein, y por lo tanto se mantiene incluso en ausencia de elección.
-- También es fácil, también se sostiene para la clase de espacios vectoriales sobre un campo dado.
-- Menos trivialmente, se mantiene para la clase de $\sigma$ -completas, ya que existe un teorema de Schroeder-Bernstein para dichas álgebras.
-- Trnková demostró en [17] que la propiedad del cubo se cumple para la clase de espacios contables metrizables (donde isomorfismo significa homeomorfismo), y en [18] que se cumple para la clase de subespacios cerrados del espacio de Cantor. La propiedad del cubo falla para la clase de $F_{\sigma \delta}$ subespacios del espacio de Cantor. Se desconoce si se cumple o no para $F_{\sigma}$ subespacios del espacio de Cantor. Véase [10].
-- Koubek, Nešetril y Rödl demostraron en [9] que la propiedad del cubo se mantiene para la clase de relaciones de equivalencia.
-- Recientemente demostré que la propiedad del cubo se mantiene para la clase de órdenes lineales bajo el producto lexicográfico. (Mi artículo es aquí . Ver también esta respuesta de MO .)
Un tema que se desprende de las pruebas de estos resultados es que cuando la propiedad del cubo se mantiene de forma no trivial, normalmente está en juego alguna versión del teorema de Schroeder-Bernstein.
Referencias :
- William Hanf , MR 108451 Sobre algunos problemas fundamentales relativos al isomorfismo de las álgebras booleanas , Matemáticas. Scand. 5 (1957), 205--217.
- Alfred Tarski , MR 108452 Observaciones sobre productos directos de semigrupos conmutativos , Matemáticas. Scand. 5 (1957), 218--223.
- Bjarni Jónsson , MR 108453 Sobre los tipos de isomorfismo de los grupos y otros sistemas algebraicos , Matemáticas. Scand. 5 (1957), 224--229.
- Corner, A. L. S. "Sobre una conjetura de Pierce relativa a las descomposiciones directas de grupos abelianos". Proc. Colloq. Abelian Groups. 1964.
- Jones, JM Tyrer, "Sobre isomorfismos de potencias directas". Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas 95 (1980): 215-245.
- P. M. Cohn , MR 197511 Algunas observaciones sobre la propiedad de la base invariante , Topología 5 (1966), 215--228.
- W. G. Leavitt , MR 132764 El tipo de módulo de un anillo , Trans. Amer. Math. Soc. 103 (1962), 113--130.
- Jussi Ketonen , MR 491391 La estructura de las álgebras booleanas contables , Anuario de Matemáticas (2) 108 (1978), nº 1, 41--89.
- V. Koubek, J. Nešetril y V. Rödl , MR 357669 Representación de grupos y semigrupos por productos en categorías de relaciones , Álgebra Universalis 4 (1974), 336--341.
- Vera Trnková , MR 2380275 Los aspectos categóricos son útiles para la topología -después de 30 años , Topology Appl. 155 (2008), no. 4, 362--373.
- Trnková, Věra, y Václav Koubek , " Isomorfismos de productos de grafos infinitos ." Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae 19.4 (1978): 639-652.
- Trnková, Věra , " Isomorfismos de productos de grafos infinitos conectados ." Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae 25.2 (1984): 303-317.
- A. Orsatti y N. Rodinò , MR 858335 Homeomorfismos entre potencias finitas de espacios topológicos , Topology Appl. 23 (1986), no. 3, 271--277.
- W. T. Gowers , MR 1374409 Una solución al problema de Schroeder-Bernstein para espacios de Banach , Toro. London Math. Soc. 28 (1996), no. 3, 297--304.
- Paul C. Eklof y Saharon Shelah , MR 1485469 Los problemas de la prueba de Kaplansky para $\aleph_1$ -grupos separables , Proc. Amer. Math. Soc. 126 (1998), nº 7, 1901--1907.
- Eklof, Paul C. "Módulos con extrañas propiedades de descomposición". Módulos de longitud infinita. Birkhäuser Basel, 2000. 75-87.
- Trnková, Věra , " Homeomorfismos de potencias de espacios métricos ." Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae 21.1 (1980): 41-53.
- Vera Trnková , MR 580990 Isomorfismos de sumas de álgebras booleanas contables , Proc. Amer. Math. Soc. 80 (1980), no. 3, 389--392.
