Este es el ejercicio 9, página 166, Dummit y Foote, Álgebra Abstracta.
Dado $A = \mathbb{Z}_{60} \times \mathbb{Z}_{45} \times \mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}_{36}$ determinar el número de subgrupos de orden $2$ .
He escrito $A$ en su forma de descomposición factorial invariante: $A = \mathbb{Z}_{180} \times \mathbb{Z}_{180} \times \mathbb{Z}_{12} \times \mathbb{Z}_3$ . En otras palabras $A$ es del tipo $(180,180,12,3)$ . Hay exactamente un elemento de orden $2$ en cada uno de los tres primeros factores que componen $A$ . No hay ningún elemento de orden $2$ en $\mathbb{Z}_3$ . Así que los elementos de orden $2$ en $A$ son de la forma $(a,b,c,1)$ donde $a,b,c$ puede ser la identidad o el elemento de orden $2$ en los tres primeros factores de $A$ . Sin embargo, debemos excluir el caso $(1,1,1,1)$ . Así que creo que la respuesta es $7$ .
No sé cómo encontrar la segunda parte de la pregunta: ¿Cuál es el número de subgrupos del índice $2$ . Si sirve de ayuda he encontrado que A expresado en su descomposición elemental de divisores es el producto directo de grupos cíclicos de orden $4,4,4,3,3,9,9,5,5$ .
