$i^{-1}\mathcal F$ ¿la gavilla es una gavilla?

Question

Dejemos que $X$ sea un subconjunto cerrado de $Y$ y $i: X\to Y$ sea el mapa de incrustación. ¿Es cierto que para una gavilla $\mathcal F$ su $i^{-1}\mathcal F$ ¿la gavilla es una gavilla?

Answer 1

Dejemos que $U_j$ sea una cobertura abierta de $U$ , un abierto de $X$ . Una sección de $i^{-1}F$ en $U_j$ es el dato de un open $V_j$ de $Y$ tal que $V_j \cap X = U_j $ y una sección $s_j \in F(V_j) $ identificados por la restricción a "cada vez más pequeños". $V_j$ 's ".

Ahora toma secciones compatibles sobre cada $U_j$ . Esto significa tener pares como los anteriores $(V_j, s_j) $ tal que para cualquier $i, j$ existe un $U_i \cap U_j \subset V_{ij} \subset V_i \cap V_j$ con la propiedad de que

$$ s_i | V_{ij} = s_j | V_{ij} $$

Este es el problema: no tenemos un candidato obvio para tomar aquí. Aquí:

https://mathoverflow.net/questions/75580/does-one-need-to-sheafify-when-defining-the-inverse-image-of-a-sheaf-with-respec

Hay un comentario con un contraejemplo, en el que realmente no es una gavilla. Sin embargo, creo que si usted tiene una incrustación cerrada de los manifiestos $i:N \to M$ Entonces debería ser cierto. Puedo pensar en esto si usted está interesado en.