¿Por qué el principio de superposición y la interpretación de Copenhague no se contradicen entre sí?

Question

En la mecánica cuántica, cuando decimos que una partícula en un estado $|x_1\rangle$ físicamente los estados $|x_1 \rangle $ y $c |x_1\rangle$ (para algunos $c\not = 0\in \mathbb{C}$ ) son iguales, es decir, corresponden a los mismos estados físicos.

Sin embargo, cuando hablamos de una superposición de estados,digamos (se omite la notación ket ) $$\alpha = N\cdot (a_1 x_1 + a_2 x_2), \quad a_1,a_2 \in \mathbb{C}\quad N \in \mathbb{R},$$ esos coeficientes $a_i$ s significa físicamente algo, es decir, corresponden a la probabilidad de medir la partícula (en estado $\alpha$ a priori de la medición ) en el estado $x_i$ .

Ahora bien, si $x_1$ y $c\cdot x_1$ son físicamente los mismos estados, ¿por qué cambiar $a_1 x_1$ a $x_1$ en la expresión $\alpha = N\cdot (a_1 x_1 + a_2 x_2)$ resultan en un estado físicamente diferente $\alpha$ ?

Answer 1

Cambiar la en general El factor de multiplicación de un estado no tiene ningún efecto, pero el cambio de la "cantidad" relativa de cada estado en él seguramente lo afecta. Así que en tu ejemplo significa que cuando tienes un estado puro como $|\psi \rangle = |x_1 \rangle$ no importa si se multiplica por cualquier $c \in\mathbb{C}$ porque lo que te interesa, la probabilidad de encontrarlo en el estado $|x_1 \rangle$ siempre lo será:

$$P = \frac {|\langle x_1|\psi \rangle|^2}{|\langle \psi|\psi \rangle|^2} = \frac {|c|^2}{|c|^2}=1$$

En su siguiente ejemplo, lo mismo ocurre con su estado $|\alpha \rangle$ se puede multiplicar por cualquier $N \in\mathbb{C}$ y obtendrá el mismo significado físico, es decir, las probabilidades relativas serán las mismas. Explícitamente:

$$P_{|x_1 \rangle} = \frac {|\langle x_1|\alpha \rangle|^2}{|\langle \alpha|\alpha \rangle|^2} = \frac {|N \cdot a_1|^2}{|N|^2}=|a_1|^2$$

$$P_{|x_2 \rangle} = \frac {|\langle x_2|\alpha \rangle|^2}{|\langle \alpha|\alpha \rangle|^2} = \frac {|N \cdot a_2|^2}{|N|^2}=|a_2|^2$$

Así que, como se quería, independientemente de $N$ . Pero no es cierto que se pueda multiplicar cada contribución individual a $|\alpha \rangle$ porque eso lo cambiará a un estado diferente. Para simplificar, se puede relacionar esto con los vectores en $\mathbb{R}^3$ Y puedes pensar que un estado es un vector, pero sólo te importa su dirección, no su longitud. Así que, en esta situación, para cualquier vector $\vec{v} = a \cdot \vec{x}+b \cdot \vec{y}$ es cierto que al multiplicar $\vec{v}$ por cualquier constante no lo cambiaría, pero multiplicar cualquiera de sus componentes de forma independiente sí que cambiaría su estado.