Función continua de real a número natural

Question

¿Cómo puedes demostrar que la única función continua desde el número real con la topología euclidiana al número natural con la topología cofinita es la función constante (sin métrica)?

He intentado utilizar desconexiones y el hecho de que la preimagen de un conjunto cerrado es cercana si la función es finita, pero no encuentro nada, ya que N está conectado con la topología cofinita...

Gracias.

Answer 1

Para $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{N}$ el conjunto $\{ f^{-1}(x) | x \in \mathbb{N} \}$ particiones $\mathbb{R}$ en un número contable de conjuntos cerrados, que por un teorema de Sierpinski(?) requiere que la partición tenga una sola parte.