$4^{2^n}+2^{2^n}+1$ es Divisible por $7$

Question

Yo tengo una pregunta.

¿Cómo puedo probar que $$4^{2^n}+2^{2^n}+1$$ is Divisible by $7$ ? gracias en avance.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$(2^{2^n}-1)(4^{2^n}+2^{2^n}+1) = 8^{2^n}-1 \equiv 1-1 \equiv 0 \pmod 7.$$

Ahora $\text{ord}_7(2) = 3$ $$7|2^{2^n}-1 \iff 3|2^n.$$

Por tanto, el resultado de la siguiente manera.

Answer 2

Considere la posibilidad de $4^{2^n} + 2^{2^n} + 1 \bmod 7$. Para entender $4^{2^n} \bmod 7$, aviso de que Fermat Poco Teorema nos informa que $4^6 \equiv 1 \bmod 7$, y, en particular, que el exponente puede ser considerado mod $6$.

¿Cómo se $2^n \bmod 6$ comportarse? Comenzando en $0$, se parece a $1, 2, 4, 2, 4, \ldots$. Hay sólo tres casos: cuando el $n = 0, 1, 2$. Todo lo demás cae en estas tres clases de residuos.

Para determinar el $4^{2^n} + 2^{2^n} + 1 \bmod 7$ se reduce a la comprensión de por $n = 0, 1, 2$. Todos estos son inmediatamente activada.

Answer 3

Deje $2^{2^n}=t_n$,$t_n=t_{n-1}^2$. Queremos mostrar que $t^2_n+t_n+1$ es divisible por $7=4+2+1=t^2_0+t_0+1$. Ahora $$\begin{aligned}t_n^2+t_n+1&=(t_n+1)^2-t_n\\ &=(t_{n-1}^2+1)^2-t_{n-1}^2\\ &=(t_{n-1}^2+t_{n-1}+1)(t_{n-1}^2-t_{n-1}+1). \end{aligned}$$ El resultado de la siguiente manera por la reducción de la inducción.

Answer 4

Una sería inducción del trabajo:

Considere el caso en $n=0$. Luego tenemos a $4^{2^0}+2^{2^0}+1=7$, de modo que la afirmación es verdadera. Ahora supongamos que es cierto para $k\in\mathbb{N}_0$. Para $k+1$ tenemos: $$4^{2^{k+1}}+2^{2^{k+1}}+1=4^{2\cdot 2^{k}}+2^{2\cdot 2^{k}}+1=16^{2^{k}}+4^{2^{k}}+1$$ Desde $16≡2\pmod{7}\implies 16^{2^{k}}≡2^{2^{k}}\pmod7$: $$16^{2^{k}}+4^{2^{k}}+1≡2^{2^{k}}+4^{2^{k}}+1≡0 \pmod{7}$$ Como se supone.

Answer 5

para la parte de $$2^{2^n}$$

$$2 ≡ 2 \pmod{7}$$

$$2^2 ≡ 4 \pmod{7}$$

$$2^3 ≡ 1 \pmod{7}$$

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para la parte de $$4^{2^n}$$

$$4 ≡ 4 \pmod{7}$$

$$4^2 ≡ 2 \pmod{7}$$

$$4^3 ≡ 1 \pmod{7}$$

---

así que tenemos que discutir la situación diferente de acuerdo a $$2^n \pmod{3}$$

hay dos situaciones:

$$2^n ≡ 2 \pmod{3}$$ if $$n=2k+1$$ for $$k=0,1,2,...$$

y

$$2^n ≡ 1 \pmod{3}$$ if $$n=2k$$ for $$k=0,1,2,...$$

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así, por $$n=2k+1$$,

$$4^{2^n}+2^{2^n}+1 ≡ 4^2 + 2^2 + 1 ≡ 21 ≡ 0 \mod{7}$$

para $$n=2k$$,

$$4^{2^n}+2^{2^n}+1 ≡ 4 + 2 + 1 ≡ 7 ≡ 0 \mod{7}$$