Estoy intentando mejorar mi redacción de pruebas debido a los exámenes. ¿Es esta prueba incluso correcta en primer lugar y comprensible? si no es así, ¿qué se podría mejorar?
Prueba de que una función biyectiva monótona es continua
Supongamos que no fuera así. Supongamos wlog que $f$ está aumentando. Entonces habría una secuencia $x_n$ tal que $\lim f(x_n)\neq f(x)$ , donde $x$ es el límite. Elija $f(y_n)=f(x)-1/n$ y $f(y'_n)=f(x)+1/n$ . Podemos hacerlo porque $f$ es suryente. Observamos que $f(y_n)\leq f(x)-1/n\leq f(x) \leq f(x)+1/n\leq f(y_n')$ . Porque $f$ es monótona encontramos $y_n \leq x \leq y_n'$ . Esto implica que para algunos $N$ avec $n \geq N$ tenemos $y_n\leq x_n\leq y_n'$ . Pero además, debido al hecho de que $f$ es monótona encontramos $f(y_n)\leq f(x_n) \leq f(y_n')$ . Si tomamos el límite y debido a un corolario del teorema de Squeeze encontramos que $f(x)\leq \lim f(x_n) \leq f(x)$ . Pero entonces $\lim f(x_n)=f(x)$ . Una contradicción.
