demostrando que no existe una constante s.t para toda f continua en norma $ L_1$ <= f en la norma $L_2$

Question

Así que, como parte de una "tarea", se nos planteó la siguiente pregunta: Demostrar que no existe ninguna constante D>0 s.t para todo continuo $f:[1,b]\rightarrow R$ : $ ||f||_2 \le D||f||_1 $

He buscado esta pregunta y he descubierto que lo demuestro proporcionando la función: $f= n(1-n(x-a)) , a \le x\le a+1/n$

$f = 0, otherwise$

Esta función proporciona el ejemplo correcto, pero no estoy seguro de cuál es la intuición que hay detrás. ¿Hay algo en esta función que debería estar claro para mí que estas propiedades se mantendrá?, ¿hay mejor manera de encontrar las funciones que se celebrará cetrina propiedades como esta pregunta que adivinar?

Answer 1

Supongo que quiere demostrar que no hay una constante $D$ tal que $||f||_2\le D ||f||_1$ ?

La función que proporcionas es efectivamente un contraejemplo. Tendrás una buena intuición si trazas esta función para unos cuantos $n$ s. Comienza en $n$ y cae linealmente hasta $0$ si se mueve a lo largo del $x$ -eje por $1/n,$ y es $0$ a partir de entonces. Así que la integral, es decir, $L^1$ -norma, es decir, el área bajo la curva es el área de un triángulo rectangular con lados cortos $n$ y $1/n;$ por lo que es $1/2$ para todos $n.$ Sin embargo, si se observa el $L^2$ hay que elevar al cuadrado antes de integrar, y la integral se convierte en $n/3,$ que, incluso después de tomar la raíz, no tiene límites. Por lo tanto, la desigualdad no se puede mantener universalmente para algunos $D.$

O para decirlo de nuevo: para cualquier $D$ la desigualdad $$ \sqrt{\frac{n}{3}} \le D \cdot \frac{1}{2} $$ no puede mantenerse para todos los enteros $n>0.$