números primos y gcd

Question

Sólo quería asegurarme de una cuestión.

Dejemos que $m, p= \text{prime} -\{0\}$

Si $$mp^k,$$

¿existe lo siguiente? $$\gcd(m,p)1 \gcd(m,p^k)1$$ y hace la restricción $$mp^k$$ ¿Importa la existencia?

¡¡¡Gracias de antemano!!!

Answer 1

$m \le p^k$ no es necesario. Si gcd $(m,p) \neq1$ entonces $m$ y $p$ deben compartir un factor común, porque el único factor de $p$ es $p$ (y uno, pero no tendremos que preocuparnos por eso) entonces al menos $p$ debe ser un factor de $m$ . Si ahora miramos a gcd $(m,p^k)$ $p^k$ tendrá un factor de $p$ y ya sabemos que $m$ tiene un factor de $p$ y por lo tanto gcd $(m,p^k) \neq1$ ya que debe ser al menos igual a $p$ . En ningún momento hemos exigido $m \le p^k$ .