Existe una clase de sistemas dinámicos, denominados mapas de traza, que son sistemas polinómicos que actúan sobre variedades analíticas (reales y complejas). Si buscas en Google "Mapa de trazas de Fibonacci", encontrarás unos cuantos buenos enlaces. Lo sorprendente de estos sistemas es que presentan bastantes fenómenos dinámicos no triviales: El axioma A, la hiperbolicidad parcial y los fenómenos de Newhouse (este último trabajo está todavía en preparación). En particular, los fenómenos de Newhouse conducen a la coexistencia de un mar caótico e islas elípticas, y el mar caótico es de dimensión Hausdorff completa (idealmente, uno querría mostrar una medida positiva del mar caótico, por supuesto).
Sorprendentemente, estos sistemas aparecieron por primera vez de forma muy natural en la física a principios de la década de 1980 (véase [1] y [2] más adelante). Surgen en bastantes campos: el álgebra, las ecuaciones de Painleve (véase [3] más abajo), los modelos de Ising y los sistemas de dos niveles a patadas (véase [4] más abajo), y la teoría espectral de los hamiltonianos de energía cuántica en la que el medio es una clase de materia llamada cuasicristales (sí, eso mismo por lo que Dan Shechtman recibió el premio Nobel de química en 2012) (véase [1] y [2] para los clásicos y [5] y [6] para los trabajos recientes).
También debo mencionar bastantes trabajos en el problema de los 3 cuerpos en los que aparece la dinámica hiperbólica, pero no soy un experto en la materia, así que no puedo señalar buenas referencias. El único trabajo que me viene a la mente (porque lo había mirado previamente) es http://www2.math.umd.edu/~vkaloshi/papers/HD-Sept2011.pdf .
Por cierto, me encantaría encontrar aplicaciones "reales" de la dinámica no uniformemente hiperbólica, pero tengo el buen presentimiento de que esos sistemas surgirían probablemente en la mecánica estadística sin quilibrio (en la que no soy muy entendido).
[1] M. Kohmoto, L. P. Kadanoff y C. Tang. Problema de localización en una dimensión: Mapeo y escape. Phys. Rev. Lett., 50(23):1870-1872, 1983.
[2] S. Ostlund, R. Pandit, D. Rand, H. J. Schellnhuber y E. D. Siggia. Ecuación de Schrodinger unidimensional con un potencial casi periódico. Phys. Rev. Lett., 50(23):1873-1876, 1983.
[3] S. Cantat. Bers y Henon, Painleve y Schrodinger. Duke Math. J., 149(3):411-460, sep 2009.
[4] M. Baake, U. Grimm y D. Joseph. Trace maps, invariants, and some of their applications. Int. J. Mod. Phys. B, 7(06-07):1527-1550, 1993.
[5] http://arxiv.org/find/math/1/au:+Gorodetski_A/0/1/0/all/0/1 (cualquier cosa que incluya la palabra "Fibonacci" o "Quasi..." en el título)
[6] http://arxiv.org/find/math/1/au:+Yessen_W/0/1/0/all/0/1 para aplicaciones a otros modelos.
