En un $C^*$ -Álgebra ${\cal A}$ Sé que $a\in {\cal A}_+$ si y sólo si $a=x^*x$ para algunos $x\in {\cal A}$ .
Pregunta : Si sabemos que $a$ también es invertible, podemos elegir $x$ para ser invertible? Ciertamente es cierto para las matrices.
Respuesta
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El comentario de @MikeF es sin duda la respuesta por defecto a tu pregunta, pero aquí tienes un argumento que no necesita raíces cuadradas.
Si $a$ es invertible y positiva, entonces también tiene estas propiedades relativas al álgebra C* conmutativa generada por $a$ y $1$ (¿puede demostrarlo?).
Por lo tanto, puede encontrar $x$ dentro de esa subálgebra, y por tanto $x$ y $x^*$ de viaje.
A partir de la expresión $a=x^*x$ se deduce que $x$ es invertible a la izquierda, y de $a=xx^*$ que $x$ es invertible a la derecha. Entonces se deduce que $x$ es invertible.
