Hay dos versiones de la singular simplicial espacio de un espacio topológico $X$, una discreta y uno interno. Al menos si X es bonito, tanto de ellos han homotopy equivalente geométrico de las realizaciones (y ambos son equivalentes a X a sí mismo). Quiero saber por qué?
Antecedentes/Motivación
Deje $\Delta$ ser un esqueleto de la categoría de finita no vacía de conjuntos ordenados. Los objetos de $\Delta$ son conjuntos ordenados [n]. Un objeto simplicial de una categoría C es un functor $X: \Delta^{op} \to C$. La categoría de $\Delta$ puede ser realizado como una sub-categoría de espacios topológicos (la categoría de n-simplices, $\Delta^n$) y (a través de la izquierda Kan extensión) esto da lugar a un geométricas realización functor de simplicial de los conjuntos de espacios topológicos. Aterriza en el bonito categoría de CW-complejos, y se denota $|X|$.
El mismo geométricas realización de trabajos de fórmula para simplicial espacios y define un functor de simplicial espacios para espacios topológicos. No siempre la tierra en CW-complejos.
Por general no-sentido no es un derecho medico adjunto a la realización, que es el singular functor. Se asocia a un espacio topológico el conjunto simplicial dado por $Sing(X):[n] \mapsto map(\Delta^n, X)$. La realización de simplicial espacios topológicos espacio también tiene un adjunto, que está dada por la simplicial espacio de $\underline{Sing}(X): [n] \mapsto \underline{map}(\Delta^n, X)$ donde $\underline{map}$ denota la asignación de espacio con la forma compacta generado compacto abierto de la topología (estoy suponiendo que todos los espacios son de forma compacta generado).
Un simplcial conjunto puede ser visto como una discreta simplicial espacio y así tenemos dos diferentes singular functors natural y un mapa de simplicial espacios entre ellos:
$Sing(X) \to \underline{Sing}(X)$
Esto le da, geométrica realización de un mapa de espacios: $|Sing(X)| \to |\underline{Sing}(X)|$. Cuando X es lo suficientemente bueno este mapa es conocido por ser un homotopy de equivalencia, y ambos espacios son homotopy equivalente a X.
¿Por qué esto es el mapa $|Sing(X)| \to |\underline{Sing}(X)|$ un homotopy equivalencia? Este puede ser deducida a partir de algún tipo de estimación de la conectividad entre los componentes de los espacios de estas simplicial espacios?
Sé que hay una forma indirecta de probar esta equivalencia mediante la comparación de ambos espacios a X, pero estoy interesado en generalizar este resultado a algunos relacionados con construcciones y por lo que me gustaría directa argumento que se utiliza el mapa entre ellos. Estoy dispuesto a reemplaza "simplicial espacio" bisimplicial establecer o asumir que el simplicial el espacio es lo suficientemente "buena". Yo estoy esperando algo relacionado con esta cuestión.
