Desigualdad $|f(x)− f(y)| ≤ |x−y|$

Question

Quiero determinar si es cierto que si $|f(x) f(y)| |xy|$ para todos los reales $x$ y $y$ entonces $f$ es una función constante. ¿Cómo se puede demostrar esto?

Conozco la solución para $|f(x) f(y)| |xy|^2$ , entonces simplemente se divide por $(x-y)$ y tomar el límite, pero ¿qué pasa con este problema?

Además, para los que $p \Bbb R$ ¿es cierto que si $|f(x) f(y)| |xy|^p$ para todos los reales x e y, entonces f es una función constante?

Answer 1

Hay muchas funciones $f$ que satisfacen $|f(x)-f(y)|\leq|x-y|$ y no son constantes. Un ejemplo es la función seno: $$|\sin(x)-\sin(y)|=|\cos(\xi)|\cdot|x-y|\leq|x-y|$$ para algunos $\xi$ entre $x$ y $y$ por el teorema del valor medio. Funciones como $\sin$ que satisfacen $|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$ para alguna constante $M$ se conocen como funciones Lipschitz-continuas.

Funciones que satisfacen la propiedad más general $|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|^\alpha$ se conocen como $\alpha$ -Hölder continuas. Nótese que $\alpha=1$ corresponde a funciones de Lipschitz, por lo que se trata de una generalización del concepto de continuidad de Lipschitz. Todos los $\alpha$ -Hölder con funciones continuas con $\alpha>1$ son constantes por el mismo argumento que has dado: $$\lim_{x\to y}\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\leq\lim_{x\to y}\frac{M|x-y|^\alpha}{|x-y|}=\lim_{x\to y}M|x-y|^{\alpha-1}=0,$$ por lo que cada $\alpha$ -Hölder continua con $\alpha>1$ es diferenciable y tiene $f'=0$ en todas partes, y por lo tanto es constante.

Answer 2

Para obtener un contraejemplo, basta con considerar la función seno. La desigualdad se satisface con el Desigualdad del valor medio . Sin embargo, es $\sin x$ ¿constante?

Editar :

La condición significa que la función es $1$ -Lipschitz. Otro ejemplo sencillo de una no-constante $1$ -Lipschitz es el valor absoluto, ya que, por la desigualdad del triángulo ( $2^\text{nd}$ forma), $$\bigl||x|-|y|\bigr|\le |x-y| .$$

Answer 3

Toma $f(x)=\sin(x)$ .

Por MVT,

$$(\forall x,y\in\Bbb R)\;\;|f(x)-f(y)|=|(x-y)\cos(c)|$$ $$\le |x-y|$$

pero $ f $ como creo, no es constante.

Answer 4

Una no-constante trivial $f$ tal que $|f(x) - f(y)| \leq |x - y|$ es $f(x) = x$ .

De hecho, considere $f(x) = x$ si $0 \leq x \leq 1$ , $f(x) = 0$ si $x \leq 0$ y $f(x) = 1$ si $x \geq 1$ . En este caso, vemos que para todo $p \leq 1$ para todos $x, y$ , $|f(x) - f(y)| \leq |x - y|^p$ .

Supongamos ahora que $p > 1$ . En este caso, vemos que para todo $n$ tenemos $|f(0) - f(x)| = |f(0) - f(\frac{1}{n} x) + f(\frac{1}{n} x) - f(\frac{2}{n} x) + ... + f(\frac{(n - 1)}{n} x) - f(x)| \leq |f(0) - f(\frac{1}{n} x)| + |f(\frac{1}{n} x) - f(\frac{2}{n} x)| + ... + |f(\frac{(n - 1)}{n} x) - f(x)| \leq |0 - \frac{1}{n} x|^p + |\frac{1}{n} x - \frac{2}{n} x|^p + ... + |\frac{n - 1}{n}x - x| = n \cdot (\frac{1}{n})^p = \frac{1}{n^{p - 1}}$ .

Pero como $p > 1$ podemos hacer $n^{p - 1}$ arbitrariamente grande. Entonces $|f(0) - f(x)| = 0$ . Entonces $f(0) = f(x)$ . Entonces $f$ es constante.