¿Cómo decidir qué familia de glm utilizar?

Question

Tengo datos de densidad de peces que estoy tratando de comparar entre varias técnicas de recolección diferentes, los datos tienen muchos ceros, y el histograma parece vaugley apropiado para una distribución de poisson excepto que, como densidades, no son datos enteros. Soy relativamente nuevo en GLMs y he pasado los últimos días buscando en internet cómo decir qué distribución usar pero he fracasado totalmente en encontrar algún recurso que ayude a tomar esta decisión. Un histograma de muestra de los datos tiene el siguiente aspecto:

No tengo ni idea de cómo decidir la familia adecuada para el MLG. Si alguien tiene algún consejo o puede darme un recurso que deba consultar, sería fantástico.

Answer 1

El modelo lineal generalizado se define en términos de predictor lineal

$$ \eta = \boldsymbol{X} \beta $$

que pasa por el función de enlace $g$ :

$$ g(E(Y\,|\,\boldsymbol{X})) = \eta $$

Modela la relación entre la variable dependiente $Y$ y las variables independientes $\boldsymbol{X} = X_1,X_2,\dots,X_k$ . Más concretamente, se trata de modela una expectativa condicional de $Y$ dado $\boldsymbol{X}$ ,

$$ E(Y\,|\,\boldsymbol{X} ) = \mu = g^{-1}(\eta) $$

por lo que el modelo puede definirse en términos probabilísticos como

$$ Y\,|\,\boldsymbol{X} \sim f(\mu, \sigma^2) $$

donde $f$ es una distribución de probabilidad del familia exponencial . Así que lo primero que hay que notar es que $f$ es no la distribución de $Y$ pero $Y$ lo sigue condicionalmente en $\boldsymbol{X}$ . La elección de esta distribución depende de su conocimiento (lo que pueda suponer) sobre la relación entre $Y$ y $\boldsymbol{X}$ . Así que en cualquier lugar donde se lea sobre la distribución, lo que se quiere decir es la distribución condicional.

• Si su resultado es continuo y sin límites, entonces la opción más "por defecto" es la distribución gaussiana (también conocida como distribución normal ), es decir, la regresión lineal estándar (a menos que se utiliza otra función de enlace entonces el enlace de identidad por defecto).

• Si se trata de continua no negativa resultado, entonces podría considerar el Distribución Gamma o Distribución gaussiana inversa .

• Si su resultado es discreto o, más exactamente, se trata de cuenta (cuántas veces sucede algo en un intervalo de tiempo determinado), entonces la opción más común de la distribución para empezar es Distribución de Poisson . El problema con la distribución de Poisson es que es bastante inflexible en el hecho de que asume que la media es igual a la varianza, si este supuesto no se cumple, puede considerar el uso de cuasi-Poisson familia, o distribución binomial negativa (véase también Definición del parámetro de dispersión para la familia de quasipoisson ).

• Si su resultado es binario (ceros y unos), proporciones de "éxitos" y "fracasos" (valores entre 0 y 1), o su cuenta puede utilizar Distribución binomial es decir regresión logística modelo. Si hay más de dos categorías, se utilizaría distribución multinomial en regresión multinomial .

Por otro lado, en la práctica, si usted está interesado en construir un modelo predictivo, puede estar interesado en probar algunas distribuciones diferentes, y al final aprender que una de ellas le da resultados más precisos que las otras, incluso si no es la más "apropiada" en términos de consideraciones teóricas (por ejemplo, en teoría debería utilizar Poisson, pero en la práctica la regresión lineal estándar funciona mejor para sus datos).

Answer 2

Las familias GLM comprenden una función de enlace así como una relación media-varianza. Para los MLG de Poisson, la función de enlace es un logaritmo, y la relación media-varianza es la identidad. A pesar de las advertencias que le hace la mayoría del software estadístico, es completamente razonable modelar una relación en datos continuos en la que la relación entre dos variables es lineal en la escala logarítmica, y la varianza aumenta de acuerdo con la media.

Esta es, en esencia, la razón de ser de la elección de la función de enlace y varianza en un MLG. Por supuesto, hay varios supuestos detrás de este proceso. Se puede hacer un modelo más robusto utilizando la cuasi verosimilitud (véase ?quasipoisson ) o los errores estándar robustos (véase el paquete sandwich o gee ).

Ha observado correctamente que muchas densidades son 0 en sus datos. En los modelos de probabilidad de Poisson, es apropiado muestrear ocasionalmente 0s en los datos, por lo que no es necesariamente el caso de que estas observaciones estén conduciendo a un sesgo en sus estimaciones de las tasas.

Para inspeccionar los supuestos de los MLG, suele ser útil observar los residuos de Pearson. Éstos dan cuenta de la relación de la varianza media y muestran al estadístico si determinadas observaciones, como estos 0s, están afectando de forma atroz a la estimación y los resultados.

Answer 3

Esta es una pregunta algo amplia, estás preguntando por cómo hacer modelización, y hay libros enteros dedicados a ello. Por ejemplo, cuando se trata de datos de conteo, considere lo siguiente:

Además de elegir una distribución, hay que elegir una función de enlace. Con los datos de recuento puede probar la distribución poisson o binomial negativa, y la función de enlace log. Aquí se da una razón para el enlace logarítmico: Bondad del ajuste y qué modelo elegir: regresión lineal o Poisson Si sus parches tienen áreas muy diferentes, tal vez debería incluir el logaritmo del área como compensación, para modelar los recuentos por unidad de área y no los recuentos absolutos. Para una explicación del desplazamiento en la regresión de datos de recuento, véase ¿Cuándo utilizar un desplazamiento en una regresión de Poisson?

EDIT 

Esta respuesta se publicó originalmente en otra pregunta, que se fusionó con ésta. Aunque la respuesta es general, comentaba detalles de un conjunto de datos y un problema que ya no están en la pregunta. La pregunta original se puede encontrar en el siguiente enlace: Familia en el MLG: ¿cómo elegir la correcta?