En un espacio, entiendo la noción de tener diferentes métricas en el mismo espacio. Es, en términos sencillos, diferentes formas de definir una distancia pero en el mismo espacio.
Pero a menudo veo que se utiliza el término "topología diferente", por ejemplo en esta excelente respuesta . Pero no entiendo muy bien esta idea.
¿Qué significa, esencialmente, tener una "topología diferente" en el mismo conjunto decir $\mathbb{R}$ ? ¿Puede aportar algunos ejemplos sencillos que transmitan esta idea?
La topología de un conjunto es esencialmente una noción sobre la forma del conjunto. Si tienes una topología sobre un conjunto, puedes hablar de vecinos, de convergencia, etc. Hay muchas maneras de dar una estructura topológica a un conjunto, como sabes, por ejemplo, tomando diferentes métricas se pueden obtener diferentes topologías. Por ejemplo, los conjuntos $X_1 =\mathbb{N}$ y $X_2 = \{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N} \}\cup\{ 0 \}$ son indistinguibles desde el punto de vista de la teoría de conjuntos. Por otra parte, como subconjuntos de $\mathbb{R}$ tienen una topología inducida por la métrica habitual. Topológicamente tienen una estructura diferente. $X_2$ tiene un punto distinguido, a saber, $0$ ya que todo conjunto abierto $U$ en $\mathbb{R}$ que contiene $0$ también contiene infinitamente otros elementos de $X_2$ . Por otro lado, no hay puntos en $X_1$ que tienen la misma propiedad. Este es un ejemplo común en el que dos conjuntos que tienen las mismas propiedades teóricas tienen propiedades topológicas diferentes.
Un conjunto $X$ puede estar equipado con lo que se llama una topología. Entonces se obtiene una espacio topológico . La topología es un conjunto $T$ de subconjuntos de $X$ . Los conjuntos de este subconjunto son exactamente los conjuntos que llamamos Abrir . Así, por ejemplo, se requiere que si $X$ y $Y$ están en $T$ entonces $X\cup Y$ está en $T$ . Lo único que se dice es que la unión de dos conjuntos abiertos es abierta. Si buscas en Google "espacio topológico" o "topología" puedes encontrar una lista de los axiomas necesarios para tener una topología.
Decir que se puede poner una topología diferente en $X$ sólo significa que se puede elegir otra colección de subconjuntos de $X$ . Por ejemplo, dado un conjunto cualquiera $X$ podrías dejar que $T$ sea la colección de todos los subconjuntos de $X$ . Esto se llama la topología discreta en $X$ . También puedes poner siempre el trivial topología en $X$ . Aquí $T = \{\emptyset, X\}$ . Por tanto, sólo el conjunto vacío y el propio conjunto son abiertos.
¿De dónde vienen entonces las topologías? Una de las formas en que surgen es cuando se tiene una métrica (como se comenta en la pregunta/respuesta anterior). Diferentes métricas simplemente pueden dar diferentes topologías.
Un conjunto $X$ es una colección de puntos. Por sí mismo, no tiene ninguna topología asociada. A topología en $X$ es una colección $T$ de subconjuntos de $X$ llamados conjuntos abiertos, que satisfacen una serie de axiomas, y un espacio topológico es un par $(X,T)$ donde $X$ es un conjunto y $T$ es una topología en $X$ .
Dado un conjunto $X$ En general, es posible construir varias colecciones diferentes $T$ de subconjuntos de $X$ que satisface los axiomas. Por ejemplo, si $X = \{1,2\}$ , entonces funcionan las siguientes colecciones:
Estos son diferentes colecciones de subconjuntos de $X$ que satisface el axioma de una topología sobre $X = \{1,2\}$ Así que simplemente decimos que son topologías diferentes.
A menudo, algunos conjuntos tienen una topología que viene naturalmente con ellos, o que se utiliza tan a menudo junto con el conjunto que no nos molestamos en mencionarla. Por ejemplo, con $\mathbb{R}$ La topoplogía procedente de la métrica se utiliza tan a menudo que no se suele mencionar. Pero formalmente sigue estando ahí, y por sí misma $\mathbb{R}$ es un conjunto como cualquier otro; si se puede construir otra colección de subconjuntos de $\mathbb{R}$ que satisface los axiomas de una topología, entonces se puede decir que se ha construido otra topología sobre $\mathbb{R}$ que puede no tener nada que ver con la topología habitual.
Veamos $\Bbb R$ como ejemplo. Estás acostumbrado a que los conjuntos abiertos sean de la forma $(a,b)$ para $a<b$ así como las uniones de estos tipos de conjuntos. Este es el topología estándar en $\Bbb{R}$ .
¿Y si elegimos otra cosa para que sean nuestros platós abiertos? Podríamos elegir conjuntos de la forma $[a,b)$ para $a<b$ , por ejemplo, más las uniones de estos conjuntos. Esto se denomina Topología de Sorgenfrey en $\Bbb{R}$ .
Bien, entonces qué, ahora tenemos diferentes conjuntos abiertos. ¿A quién le importa? Bueno, resulta que en topología definimos la continuidad completamente en términos de nuestros conjuntos abiertos, así que ahora la topología de Sorgenfrey tiene una noción de "continuidad" diferente a la que estás acostumbrado. De hecho, muchas propiedades de la "línea real" cambian cuando cambiamos nuestra topología.
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