¿Cuál es la iniciación adecuada a la teoría de los motivos para un nuevo estudiante de geometría algebraica?

Question

Una disculpa preliminar es necesaria: Soy consciente de que la mayoría de mis contribuciones a este sitio son en forma de solicitudes de referencia. Entiendo que esto hace que parezca que no hago nada más que estar sentado la mayor parte del tiempo, empapándome de todas las matemáticas avanzadas posibles, a pesar de mi posición como estudiante de bajo nivel. En realidad, esto no podría ser más exacto; la mayor parte del tiempo me siento a leer matemáticas.

Muy bien, ahora que he dicho esto, tengo curiosidad por saber dónde puedo encontrar un tratamiento coherente de la teoría de los motivos; uno que esté por debajo del nivel de un matemático profesional y que sea más o menos adecuado para los lectores de Hartshorne o del maravilloso texto de teoría de esquemas de Eisenbud/Harris. Es decir, quiero entender la disciplina que oigo ensalzar como hermosa y compleja por los investigadores del campo, pero que es notoriamente abstrusa y difícil de aprender/entender. Me pregunto si las exposiciones de la teoría de los motivos son necesariamente muy técnicas, o si son accesibles para el ambicioso estudiante avanzado.

Gracias de nuevo, comunidad de MO, por impartir su sabiduría respecto a las buenas referencias. Se aprecia mucho =)

Answer 1

La palabra "motivo" tiene muchos significados diferentes (aunque muy relacionados). Te sugiero que primero aprendas sobre los "motivos puros de Chow", antes de ver la teoría más complicada de los motivos mixtos.

Para la motivación, es necesario haber visto al menos una teoría de cohomología de Weil, así que quizás quieras echar un vistazo también a las conjeturas de Weil.

Para las cosas técnicas, deberías saber qué es una categoría abeliana (y luego aprender el resto por el camino).

Relacionados con la teoría de los motivos también están: Teoría K, teoría de homotopía (estable) de esquemas, teoría de intersecciones (grupos de Chow). Si tienes interés en alguno de estos temas, podría ser bueno mirar un tratamiento que cubra la relación entre esto y los motivos, para dar un poco más de motivación.

Dado que todavía no existe una categoría abeliana de motivos mixtos, sino que lo que "parece" es una categoría derivada, es posible que quieras aprender un poco sobre las categorías derivadas y las categorías trianguladas antes de caminar hacia (la teoría de Voevodsky de) los motivos mixtos.

Por supuesto, también está el artículo de AMS Notices What is ... a motive? de Barry Mazur.

Answer 2

Bueno, esto no es específicamente motivos pero me gustó leer estas notas http://www.math.northwestern.edu/~eric/lectures/zurich/ por Eric Friedlander. Estas conferencias introducen un montón de cosas que quieres saber si estás interesado en los motivos.

Answer 3

Ici es un artículo introductorio muy comprensible de R. Sujatha. Para un estudiante principiante es bueno.

En mi caso, después de ese artículo, mi siguiente encuentro con los motivos fue con la definición más precisa de un motivo de las partes iniciales de la monografía de Deligne "Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points". Incluso define un motivo mixto; de hecho, es la única definición de motivo mixto que conozco.

Leer el Revisión de Mathscinet y también, Opinión de Jordan Ellenberg en este notable documento de Deligne. Yo mismo me quedé asombrado cuando lo examiné por primera vez y vi la cantidad de cosas que contenía.

El documento de Deligne " Formas modulares y representaciones $l$ -adiques ", que demuestra que las conjeturas de Weil implican la conjetura de Ramanujan, se acerca casi a la teoría de los motivos, aunque no mencione explícitamente los motivos. Aquí las representaciones del grupo absoluto de Galois en el étale, o más bien en el $\ell$ -ádica, se considera la cohomología. Esto podría dar una idea inicial del enfoque de las representaciones de Galois a los motivos.