¿Cuál es la iniciación adecuada a la teoría de los motivos para un nuevo estudiante de geometría algebraica?

Question

Una disculpa preliminar es necesaria: Soy consciente de que la mayoría de mis contribuciones a este sitio son en forma de solicitudes de referencia. Entiendo que esto hace que parezca que no hago nada más que estar sentado la mayor parte del tiempo, empapándome de todas las matemáticas avanzadas posibles, a pesar de mi posición como estudiante de bajo nivel. En realidad, esto no podría ser más exacto; la mayor parte del tiempo me siento a leer matemáticas.

Muy bien, ahora que he dicho esto, tengo curiosidad por saber dónde puedo encontrar un tratamiento coherente de la teoría de los motivos; uno que esté por debajo del nivel de un matemático profesional y que sea más o menos adecuado para los lectores de Hartshorne o del maravilloso texto de teoría de esquemas de Eisenbud/Harris. Es decir, quiero entender la disciplina que oigo ensalzar como hermosa y compleja por los investigadores del campo, pero que es notoriamente abstrusa y difícil de aprender/entender. Me pregunto si las exposiciones de la teoría de los motivos son necesariamente muy técnicas, o si son accesibles para el ambicioso estudiante avanzado.

Gracias de nuevo, comunidad de MO, por impartir su sabiduría respecto a las buenas referencias. Se aprecia mucho =)

Answer 1

Pidiendo la luna, en mi opinión. He aquí 10 "heurísticas" que tratan de situar la teoría. Nótese que mucha gente se detiene en el número 1, como si esto fuera suficiente. Ninguno de estos puntos es particularmente fácil de rastrear en la literatura, AFAIK.

1. Una variedad irreducible V va a ser tratada como una "molécula" en esta teoría, no como un "átomo". Los motivos son, en cierto sentido, partes de las variedades. Si se cuentan puntos sobre campos finitos, esto puede parecer combinatorio (por ejemplo, la fórmula de Euler para las triangulaciones de una esfera), pero tiene que ser mucho más profundo.

2. En la cohomología de una variedad de dimensión n, la dimensión superior relevante tiene que ser 2n, por razones que son fáciles de ver sobre los números complejos (dimensión real), pero que en general tienen que ver con intuiciones topológicas, como que la ramificación tiene lugar en codimensión 2.

3. El patrón de pensamiento a gran escala de Grothendieck implica definir toda una categoría a la vez, y entenderla mediante estructuras y conceptos a nivel de categoría. Hay que entender la "categoría de motivos", en particular sus conjuntos Hom. Estos deben modelarse a partir de la idea de correspondencia algebraica. Así que es moralmente una categoría de relaciones.

4. Ciclos algebraicos (i): Por lo general, en la teoría de la homología, el enfoque moderno consiste en empezar con una definición muy abstracta y preocuparse después de cómo representar una clase de forma concreta. Aquí es útil el enfoque contrario: los ciclos algebraicos se trazan en las variedades mediante combinaciones de subvariedades.

5. Ciclos algebraicos (ii): Los ciclos algebraicos deben estar sujetos a relaciones de equivalencia, como la equivalencia lineal para los divisores. Aquí hay problemas técnicos importantes (sustituyendo vagamente a las homotopías).

6. Ciclos algebraicos (iii): Hay (o puede haber) una escasez de ciclos algebraicos. Véase la conjetura de Hodge. En otras palabras, carecemos de pruebas de existencia en general.

7. Resolución de problemas (i): Suponga lo suficiente sobre una buena categoría de motivos y obtendrá una demostración condicional de las conjeturas de Weil.

8. Resolución del problema (ii): Los motivos pueden dar cuenta de forma conjetural (a grandes rasgos, a nivel de álgebra de Lie) de las imágenes de las representaciones de Galois en la cohomología l-ádica.

9. Vista desde arriba: Los motivos resuelven el problema de lo que sería la "cohomología universal de Weil", al menos en el mejor de los mundos posibles.

10. La conjetura del período de Grothendieck: un giro concreto en la teoría de la trascendencia es la conjetura del límite superior del grado de trascendencia de los períodos de las variedades abelianas. Los motivos pueden "atrapar" suficientes ciclos algebraicos para lograrlo.

Answer 2

Hay una introducción muy amigable a la teoría de homotopía motivacional que comienza incluso por debajo del nivel de Hartshorne: Los apuntes de la escuela de verano de Nordfjordeid sobre la teoría de homotopía motivacional. Constan de tres capítulos:

1. Requisitos topológicos previos (Dundas)

2. Prerrequisitos Algebro-Geométricos (Levine)

3.Teoría de la Homotopía Motivacional (Voevodsky/Röndigs/Østvær) que no está disponible legalmente en línea pero tiene casi el mismo contenido que Charla de Voevodsky en el ICM

Ten en cuenta que está en el nivel que pediste y de esta fuente aprendes con cierto detalle sobre un enfoque moderno, pero no sobre los motivos clásicos y todo el "yoga" y la motivación e intuición relacionados con la teoría de números. Lo más cercano a ser un coherente fuente que va más en esa dirección es probablemente El libro de Yves André (el enlace te da el índice), por lo demás sólo conozco notas y artículos dispersos

Answer 3

La mejor introducción que he visto es la de Milne Motivos - El sueño de Grothendieck de su página web. Sin embargo, tenga en cuenta que hay muchas cosas que debe saber antes de poder apreciar plenamente todo lo que contiene el documento. Pero incluso una lectura superficial es muy gratificante y motivadora.

Answer 4

El antiguo artículo de Manin (la primera publicación sobre motivos, según el autor "un ejercicio" de Grothendieck) es muy legible y está bellamente escrita. Muy legible y bueno también es "Motives" de Kleimann en "Algebraic geometry", Oslo 1970 (Proc. Fifth Nordic Summer-School in Math., Oslo, 1970), pp. 53--82 , y Artículo de Demazure de esa época.

Answer 5

Le sugiero: Un folleto sobre cohomología motivacional, Luca Barbieri-Viale, http://arxiv.org/abs/math/0508147 (o la versión publicada) y/o la de Bruno Kahn http://people.math.jussieu.fr/~kahn/preprints/kcag.pdf