Subespacios aproximadamente complementados

Question

Definición: Supongamos que $E$ es un subespacio del espacio normado $X$ . Entonces $E$ se complementa aproximadamente en $X$ si para cualquier subconjunto compacto $K$ de $E$ y cualquier $\epsilon>0$ existe un operador lineal continuo $P\colon X\to E$ tal que $\|x-P(x)\|<\epsilon$ para todos $x\in K$ .

Pregunta : ¿Existe algún subespacio de un espacio de Hilbert que no sea aproximadamente complementado?

Answer 1

La respuesta es no. Es decir, cualquier subespacio $E$ de un espacio de Hilbert $X$ se complementa aproximadamente. En efecto, tomemos cualquier subconjunto compacto $K$ de $E$ y cualquier $\epsilon>0$ .
Deja que los puntos $x_1,\dots,x_n$ en $K$ formar un $\epsilon/2$ -red de $K$ y, a continuación, deja que $P$ sea el proyector ortogonal de $X$ en el tramo lineal de $x_1,\dots,x_n$ para que $P$ es un operador lineal continuo de norma $\le1$ que puede considerarse como un mapa del espacio de Hilbert $X$ a $E$ . Tome ahora cualquier $x\in K$ . Entonces $\|x-x_i\|<\epsilon/2$ para algunos $i=1,\dots,n$ . Por lo tanto, $$\|x-Px\|\le\|x-x_i\|+\|x_i-Px_i\|+\|P(x_i-x)\|< \epsilon/2+0+\epsilon/2=\epsilon. $$

Answer 2

Iosif Pinelis ha dado un argumento directo, pero si estás estudiando la complementación aproximada en espacios de Banach más generales, el siguiente argumento puede ser de interés.

En el artículo original de Zhang ( Proc. Amer. Math. Soc. 127 (1999), 3237-3242 ) señala que si $E$ es un subespacio cerrado de $X$ y $E$ tiene la propiedad de aproximación entonces se complementa aproximadamente en $X$ . Aunque la propiedad de aproximación no siempre pasa a los subespacios, cuando $X$ es un espacio de Hilbert $E$ también es un espacio de Hilbert y por lo tanto $E$ tendrá la propiedad de aproximación.