10ª derivada de una función

Question

Quiero encontrar $f^{(10)}(0)$ donde $f(x)=\ln(2+x^2)$ .

Sé que se puede hacer "a mano", pero creo que hay una forma más inteligente.

Creo que debería usar las series de Taylor y el hecho de que $f^{(n)}(0)=a_n*n!$ pero no estoy seguro de cómo.

Answer 1

\begin {align} f(x) &= \ln (2 + x^{2}) = \ln 2 + \ln\left ( 1 + \frac {x^{2}}{2} \right ) \\ &= \ln 2 + \sum_ {k=1}^{ \infty } \frac {(-1)^{k-1} \N, x^{2k}}{2^{k} \N, k} \\ &= \ln 2 + \frac {x^{2}}{2} - \frac {x^{4}}{8} + \frac {x^{6}}{24} - \frac {x^{8}}{64} + \frac {x^{10}}{160} - \cdots \\ f(x) &= \ln 2 + \frac {x^{2}}{2!} - 3 \, \frac {x^{4}}{4!} + 30 \, \frac {x^{6}}{6!} - 630 \, \frac {x^{8}}{8!} + 22680 \, \frac {x^{10}}{(10)!} - 1247400 \, \frac {x^{12}}{(12)!} + \cdots \end {align} A partir de esta expansión en serie se puede determinar que \begin {align} f^{(2n+1)}(0) &= 0 \hspace {10mm} \text {por} \quad n \geq 0 \\ f^{(2n)}(0) &= \frac {(-1)^{n-1} \N, (2n)!}{2^{n}} \, n} = \frac {(-1)^{n-1}, (2n-1)!}{2^{n-1}} \hspace {10mm} \text {por} \quad n \geq 1 \\ f(0) &= \ln 2. \end {align}

Answer 2

Tenemos $$ \frac{2x}{x^2+2} = \frac{x}{1+\frac{x^2}{2}} = x\bigg(1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{8} + \frac{x^8}{16}+\cdots \bigg). $$ Entonces, integrando obtenemos $$ \log(x^2+2)-\log2 = \int_0^x \frac{2t}{t^2+2}\; dt = \frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{2\cdot 4} + \frac{x^6}{4\cdot 6} - \frac{x^8}{8\cdot 8} + \frac{x^{10}}{10\cdot 16}+\ldots $$

Respuesta: $22680$ :)

Answer 3

\begin {align} f'(x)= \frac {x}{1+ \frac {x^{2}}{2}}= \sum_ {k=0}^{ \infty }(-1)^{k} \left ( \frac {x^{2k+1}}{2^{k}} \right )=x- \frac {x^{3}}{2}+ \cdots + \frac {x^{9}}{2^{4}}- \frac {x^{11}}{2^{5}}+ \cdots \end {align}

Por lo tanto, si diferenciamos esta serie nueve veces, vemos que $f^{(10)}(0)$ es el término constante, que es $\frac{9!}{16}=22680$

Answer 4

Maple dice que la derivada viene dada por $$f^{(10)}(x)=928972800\,{\frac {{x}^{8}}{ \left( {x}^{2}+2 \right) ^{9}}}-812851200 \,{\frac {{x}^{6}}{ \left( {x}^{2}+2 \right) ^{8}}}+290304000\,{\frac {{x}^{4}}{ \left( {x}^{2}+2 \right) ^{7}}}-36288000\,{\frac {{x}^{2}}{ \left( {x}^{2}+2 \right) ^{6}}}+725760\, \left( {x}^{2}+2 \right) ^{- 5}-371589120\,{\frac {{x}^{10}}{ \left( {x}^{2}+2 \right) ^{10}}} $$