La primera condición implica que la matriz jacobiana $L^i_j=\frac{\partial y^i}{\partial x^j}$ es una transformación de Lorentz. Por sustitución de la definición del jacobiano en esta condición, obtenemos:
$g^{ij}\frac{\partial y^k}{\partial x^i}\frac{\partial y^l}{\partial x^j} = g^{kl}$
En particular, tomando las ecuaciones diagonales que igualan $l=k$ tenemos
$g^{ij}\frac{\partial y^k}{\partial x^i}\frac{\partial y^k}{\partial x^j} = g^{kk}= \pm 1 $
(El signo más para la coordenada temporal y el signo menos para las coordenadas espaciales).
Pero esto no es más que la ecuación de Hamilton-Jacobi para una partícula libre relativista, cuya solución única puede obtenerse por separación de variables:
$y^k = \sum_i f^{(k)}_i(x^i)$
Por sustitución, obtenemos:
$\frac {df^{(k)}_i(x^i)}{dx^i} = const$
Así, las nuevas coordenadas son funciones lineales de las antiguas. Los coeficientes constantes no son independientes, ya que la matriz jacobiana debe ser una transformación de Lorentz.
Actualización:
A sugerencia de lurscher, aquí hay dos referencias que contienen la ecuación de Hamilton-jacobi de una partícula relativista. (Ambas referencias se refieren a una partícula en un campo electromagnético externo. Para obtener la ecuación de Hamilton-Jacobi para la partícula libre se necesita el caso particularr con un potencial vectorial evanescente): referencia-1 (por A. granik) , referencia-2
(La versión necesaria aparece en la ecuación (33) de la primera referencia, la segunda referencia contiene la versión (propia) dependiente del tiempo).
Además, daré aquí otra derivación basada en la aproximación WKB de la ecuación de Klein- Gordon:
$\frac {1}{c^2}\frac {\partial^2\psi}{\partial t^2}-\nabla^2 \psi + \frac{m^2 C^2}{\hbar^2}\psi = 0$
Las soluciones de onda plana vienen dadas por:
$\psi = C \exp(i\frac{\mathbf{p}.\mathbf{x}-\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}t}{\hbar})$
Para realizar una aproximación WKB, buscamos una solución de la forma
$\psi = A(x,t)\exp(\frac{iS(x,t)}{\hbar})$
y tomar los términos principales en el límite $\hbar \rightarrow 0$ . ( $S$ se denomina a veces función de fase de Hamilton-Jacobi)
Por sustracción, obtenemos:
$((\frac {1}{c^2}\frac {\partial^2A}{\partial t^2}-\nabla^2A)+\frac{2i}{\hbar}(\frac {1}{c^2}\frac {\partial A}{\partial t} \frac {\partial S}{\partial t} -\mathbf{\nabla}A.\mathbf{\nabla}S) -\frac{A}{\hbar^2}(\frac {1}{c^2}\frac {\partial^2S}{\partial t^2}-\nabla^2S - m^2 c^2 )) = 0$
El término principal es la ecuación de Hamilton-Jacobi:
$\frac {1}{c^2}\frac {\partial^2S}{\partial t^2}-\nabla^2S - m^2 c^2 = 0$
Lo que puede verse como equivalente a cada ecuación de la diagonal principal de la ecuación matricial escrita en la respuesta original.
Ahora, también es fácil ver la singularidad de la solución. Para la partícula libre, se puede ver que los términos no principales realmente desaparecen, es decir, la aproximación WKB es exacta.
La función de fase de Hamilton-Jacobi $S$ es sólo la fase de las soluciones de onda plana de la ecuación de Klein-Gordon:
$ S = \mathbf{p}.\mathbf{x}-\sqrt{m^2c^4+p^2c^2}t$
En $\mathbb{R}^4$ todas las soluciones de la ecuación libre de Klein-Gordon en coordenadas cartesianas tienen la forma de las ondas planas, lo que implica que la función de fase de Hamilton-Jacobi es lineal en las coordenadas cartesianas.
