¿Cómo puedo demostrar que $f(x)=0.25x^4+x^2y+y^2$ ¿tiene un punto mínimo?

Question

$$\ f(x,y)=0.25x^4+x^2y+y^2 $$

La cuestión es encontrar el punto mínimo de $$\ f(x,y) $$

Primero tomé la derivada parcial de f con respecto a x e y

Entonces, tengo $$\frac{\partial f_{}}{\partial x} =x^3+2xy$$ $$\frac{\partial f_{}}{\partial y} =x^2+2y$$

Entonces los puntos cuando ambos se convierten en cero es $$ y=\frac{-x^2}{2}$$

Luego, miro la matriz hessiana

$$\begin{bmatrix}3x^2+2y & 2x\\2x & 2 \end{bmatrix}$$

Entonces, una vez que conecte $$ y=\frac{-x^2}{2}$$

La matriz se convierte en

$$\begin{bmatrix}2x^2 & 2x\\2x & 2 \end{bmatrix}$$

Seguramente, el determinante de esta matriz se convierte en 0, lo que implica que esta matriz no es positiva definida y por lo tanto no existen puntos mínimos

Me pregunto si hay algo mal en mi enfoque

Answer 1

La definición positiva de la matriz hessiana es una suficiente condición para $f$ para alcanzar un mínimo local. No es una condición necesaria. En otras palabras, si el hessiano no es positivo definido, no se deduce que no existan mínimos.

Para su problema, debe conectar $y=-\frac12x^2$ en la función original $f(x,y)$ para encontrar que $f(x,y)=0$ cuando $y=-\frac12x^2$ . Este es el más pequeño que $f$ puede ser, ya que puede completar el cuadrado en $\frac14x^4+x^2y+y^2$ para obtener $(\frac12x^2+y)^2$ que no es negativo. Así que $f$ alcanza su valor mínimo (es decir, cero) en cualquier punto $(x,y)$ tal que $y=-\frac12x^2$ .