Valor de $\int_{\partial B(w,R)}\frac{f(z)}{z-w}dz$ utilizando el Teorema de Cauchy-Goursat

Question

Utilizando el Teorema de Cauchy-Goursat para un dominio multi-conectado, responda a la siguiente pregunta:
Supongamos que $f$ es holomorfa en un dominio $\Omega$ y $\overline{B}(w,R)\subset \Omega$ , donde $\overline{B}(w,R)$ es el cierre de $B(w,R)$ Explique por qué
$$\int_{\partial B(w,r)}\frac{f(z)}{z-w}dz = \int_{\partial B(w,R)}\frac{f(z)}{z-w}dz$$ siempre que $0<r<R$ .
Explica qué implica esto sobre la integral de la derecha.

No estoy seguro de cómo se utilizará el teorema aquí, sólo pensé que si $f$ es holomorfo sobre este dominio, entonces todos los contornos pueden ser deformados, pero no creo que sean necesariamente iguales...
Tengo la sensación de que la integral de la derecha es cero ya que es un resultado del teorema.

El teorema para el dominio multi-conectado es:
Teorema de Cauchy Goursat. Supongamos que $\Omega$ es un dominio acotado cuyo $\partial \Omega$ consiste en un número finito de contornos disjuntos. Sea $\Gamma_0$ digamos que es el contorno exterior $\Omega$ mientras que los otros $\Gamma_1,\Gamma_2,\ldots,\Gamma_n$ están dentro $\Omega$ . Supongamos también $f\in H(\Upsilon)$ , donde $\overline{\Omega} \subset \Upsilon$ . Entonces

$$\int_{\partial\Omega}f(z)dz = \sum_{j=0}^n\int_{\partial \Gamma_j}f(z)dz = 0.$$

Answer 1

Dejemos que $D = B(w,R) \setminus B(w,r)$ . Entonces $\dfrac{f(z)}{z-w}$ es holomorfa en una vecindad de $D$ (ya que $D \subset \Omega$ y $w \notin D$ ). Por lo tanto, por el teorema integral de Cauchy (Cauchy-Goursat en su terminología), $$ 0 = \int_{\partial D} \dfrac{f(z)}{z-w}\,dz = \int_{\partial B(w,R)} \dfrac{f(z)}{z-w}\,dz - \int_{\partial B(w,r)} \dfrac{f(z)}{z-w}\,dz. $$ El signo menos se debe a que el límite interior de $D$ debe orientarse en el sentido de las agujas del reloj. (La integral sobre $\partial D$ debe tomarse con orientación positiva, es decir $\partial B(w,R)$ en sentido contrario a las agujas del reloj y $\partial B(w,r)$ en el sentido de las agujas del reloj).