Prueba de que $\|fx\| \leq \|f\|\cdot\|x\|$

Question

Desde el artículo wiki en el dual de una norma:

$X$ y $Y$ son espacios normados, y asociamos a cada uno $f\in L(X,Y)$ (el espacio de operadores lineales acotados de $X$ à $Y$ ) el número $$\|f\| = \sup\{|f(x)|:x\in X, \|x\| \leq 1\}.$$

En algún momento de la prueba que $L(X,Y)$ está acotado, parece que utilizan la desigualdad $$\|fx\| \leq \|f\|\cdot\|x\|,$$ donde $\|x\|\leq 1$ .

No veo por qué esto debería sostenerse.

$\|f|\|$ es el supremum de lo que $|f(x)|$ puede ser, dado que $\|x\|\leq 1$ . Por lo tanto, dado que $\|x\| \leq 1$ , $|fx|$ debe estar limitada por $\|f\|$ . Pero, ¿por qué debería estar limitado por $\|f\|\cdot\|x\|$ ?

Answer 1

La desigualdad es claramente cierta si $x=0$ . Si $x\not=0$ escribir $$x=||x||\dfrac{x}{||x||}=||x||\cdot y$$ donde $y=x/||x||$ tiene norma 1. La definición del operador norma da que $$||fy||\leq ||f||$$ por lo que $$\left|\left|f\left(\dfrac{x}{||x||}\right)\right|\right|\leq ||f|| \Rightarrow ||fx||\leq ||f||\cdot||x||$$ por la linealidad.