En la época de Euclides, no existía la noción moderna de número real; Euclides no creía que la longitud de un segmento de recta fuera una cantidad medible con números. Pero sí creía que tenía sentido hablar de la relación de dos longitudes. De hecho, dedica Libro V de sus Elementos al estudio de dichas proporciones, utilizando la llamada teoría eudoxiana de las proporciones. Así es como funciona.
Dejemos que $w$ y $x$ sean dos magnitudes del mismo tipo (por ejemplo, dos longitudes), y sea $y$ y $z$ sean dos magnitudes del mismo tipo (por ejemplo, dos áreas). Entonces [según Euclides,][2] la razón de $w$ a $x$ se dice que es igual a la relación de $y$ a $z$ si para todos los enteros positivos $m$ y $n$ , si $nw$ es mayor, igual o menor que $mx$ entonces $ny$ es mayor, igual o menor que $mz$ respectivamente. O para decirlo en lenguaje moderno, $w/x = y/z$ si los mismos números racionales $m/n$ son menores que ambos, los mismos números racionales son iguales a ambos y los mismos números racionales son mayores que ambos.
En otras palabras, un cociente está definido por las clases de números racionales que son menores, iguales y mayores que él. Si ha estudiado el análisis real, esto debería resultarle familiar: ¡así es como se construye el sistema de números reales utilizando los cortes de Dedekind! De hecho, Dedekind tomó la teoría eudoxiana de las proporciones del Libro V de Euclides como inspiración para su construcción de cortes Dedekind. Así que, para resumir, aunque Euclides no los hubiera considerado números, su noción de "proporciones" corresponde básicamente a nuestra noción de "números reales positivos".
Ahora, con estos antecedentes, mi pregunta es sobre la multiplicación de números reales. Así es como Euclides define el producto de cocientes: decimos que el producto de $w/x$ y $y/z$ es igual a $u/v$ si existen magnitudes $r,s,$ y $t$ tal que $w/x = r/s$ , $y/z = s/t$ y $u/v = r/t$ . (Esto está bien definido por el propuesta V.22 ) Pero esta no es la forma estándar en que se define la multiplicación en la construcción del corte de Dedekund de los números reales, donde se forma un nuevo corte tomando los productos de los números racionales en los dos cortes que se están multiplicando.
Así que mi pregunta es, ¿cómo podemos demostrar que la definición de Euclides de la multiplicación de números reales es igual a la definición de corte de Dedekind? Si no me equivoco, el problema se reduce básicamente a demostrar lo siguiente:
Para todos los enteros positivos $l$ , $m$ y $n$ y todas las magnitudes $x$ , $y$ y $z$ :
Si $l/m < x/y$ y $m/n < y/z$ entonces $l / n < x/ z$
Si $l/m = x/y$ y $m/n = y/z$ entonces $l / n = x/ z$
Si $l/m > x/y$ y $m/n > y/z$ entonces $l / n > x/ z$
Y eso, a su vez, equivale a lo siguiente:
Para todos los enteros positivos $l$ , $m$ y $n$ y todas las magnitudes $x$ , $y$ y $z$ :
Si $ly < mx$ y $mz < ny$ entonces $lz < nx$
Si $ly = mx$ y $mz = ny$ entonces $lz = nx$
Si $ly > mx$ y $mz > ny$ entonces $lz > nx$
Entonces, ¿alguien tiene alguna idea de cómo hacer para probarlo? Como referencia, la suma de magnitudes es asociativa y conmutativa, y las magnitudes también obedecen a la las siguientes propiedades :
V.1. La multiplicación por números se distribuye sobre la suma de magnitudes. $m(x_1 + x_2 + ... + x_n) = m x_1 + m x_2 + ... + m x_n$
V.2. La multiplicación por magnitudes se distribuye sobre la suma de números. $(m + n)x = mx + nx$
V.3. Una asociatividad de la multiplicación. $m(nx) = (mn)x$
V.5. La multiplicación por números se distribuye sobre la sustracción de magnitudes. $m(x – y) = mx – my$
V.6. Utiliza la multiplicación por magnitudes distribuye sobre la sustracción de números. $(m – n)x = mx – nx$
EDIT: De las tres afirmaciones que quería demostrar, acabo de darme cuenta de que Euclides demostró la afirmación 2 en su propuesta V.22 . Así que ahora sólo tengo que demostrar las afirmaciones 1 y 3.
