Encuentre $\lim_{(x,y)\to(0,0)} g \left(\frac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}\right)$ donde $\lim_{z\to 0}\frac{g(z)}{z}=2.$

Question

Este límite me parece diferente a todos los demás límites multivariables ya preguntados en este sitio.

Dejemos que $g \colon \mathbb R \to \mathbb R$ sea tal que $$\lim_{z\to 0}\frac{g(z)}{z}=2.$$ Evaluar si el límite $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} g \left(\frac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2}\right)$$ existe, y si lo hace, determinarlo.

He intentado acercarme al límite con, por ejemplo $x=0$ , $y=0$ etcétera, pero ni siquiera estoy seguro de dónde, por ejemplo $g(x^2)$ así que $g(z)$ va a. Además, las coordenadas polares no parecen el camino a seguir aquí.

Answer 1

Una pista: $$g(z)=\left(\frac{g(z)}{z}\right)z.$$

Answer 2

Empieza por convencerte de que

$$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{x^4 + y^4}{x^2 + y^2} = 0$$

Ahora bien, una vez que esto es cierto, considere lo siguiente: Cuando $z$ es muy pequeño,

$$\frac{g(z)}{z} \approx 2$$

Esto es un problema a menos que $\lim_{z \to 0} g(z)$ existe y es un número muy particular. Piensa en lo que debería ser este número.

El número es cero.