Unidad fundamental del anillo entero cuadrático $\mathbb{Z}[\sqrt{n}]$

Question

He buscado en otras preguntas pero no he encontrado ninguna respuesta en relación con los anillos de enteros cuadráticos. Disculpas si se me pasó.

Dado el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{n}]$ donde $n$ es un entero positivo libre de cuadrados, me gustaría encontrar la unidad fundamental (es decir, algún $a + b\sqrt{n}$ tal que $\langle a + b\sqrt{n}\rangle = \mathbb{Z}[\sqrt{n}]^\times$ las unidades de $\mathbb{Z}[\sqrt{n}]$ ). Sé que si tomo el más pequeño $y$ tal que $ny^2$ es de la forma $x^2 \pm 1$ Me sale a unidad, $x + y\sqrt{n}$ . Después de todo, tenemos $ny^2 = x^2 \pm 1$ Así que $ny^2 - x^2 = \pm 1$ lo que significa que $N(x + y\sqrt{n}) = x^2 - ny^2 = \mp 1$ ( $N$ es sólo una función euclidiana estándar). Como esta función euclidiana en particular también es multiplicativa, sabemos que cualquier potencia de $x + y\sqrt{n}$ también es una unidad. Sin embargo, aquí es donde me quedo atascado. ¿Es esto $x + y\sqrt{n}$ ¿es realmente una unidad fundamental? Si es así, ¿cómo puedo demostrar que puede generar todas las unidades? Si no es así, ¿cómo encuentro la unidad fundamental real?

Answer 1

Una forma muy práctica de obtener la unidad fundamental de un campo cuadrático real es la siguiente:

para $\Bbb Q(\sqrt d)$ tenemos $$a_n+b_n\sqrt d=(a_1+b_1\sqrt d)^n\Rightarrow b_{n+1}=a_1b_n+b_1a_n$$ Esto implica que la secuencia $\{b_n\}$ es estrictamente creciente porque $a_1,b_1,a_n,b_n$ son positivos. Por lo tanto, podemos ver en la secuencia $d,2^2d,3^2d,4^2d,....$ y se detiene en el primer término para el que $db^2$ es tal que $a^2-db^2=\pm1$ para algún número entero $a$ . En este caso el $a$ y $b$ son los buscados $a_1$ y $b_1$ de la unidad fundamental. Este método, por lo que sé, se debe a Pierre Samuel.

Ejemplos: (1) Para $\Bbb Q(\sqrt6)$ tenemos $6\cdot1=6;\space6\cdot2^2=24=5^2-1$ entonces la unidad fundamental de $\Bbb Q(\sqrt6)$ es $5+2\sqrt6$ .

(2) Para $\Bbb Q(\sqrt7)$ tenemos $7\cdot3^2=63=8^2-1$ por lo que la f. u. es $8+3\sqrt7$

Answer 2

En el caso de un campo cuadrático real, la unidad fundamental es la unidad más pequeña de la forma $ x + y \sqrt{d} $ tal que $ x \geq 0 $ y $ y \geq 1 $ . Para ver esto, observe que si $ x + y \sqrt{d} > 1 $ es una unidad, tenemos que $ x^2 - dy^2 = \pm 1 $ . Supongamos que $ x $ y $ y $ tuvieran signos diferentes, entonces tendríamos

$$ x + y \sqrt{d} = \frac{\pm 1}{x - y \sqrt{d}} $$

y $ |x - y \sqrt{d}| \geq 1 $ desde $ x $ y $ -y $ tienen el mismo signo. Esto es una contradicción, por lo tanto $ x $ y $ y $ son ambas no negativas en $ x + y \sqrt{d} $ . Dado que la unidad fundamental es la menor unidad mayor que $ 1 $ se deduce que podemos considerar simplemente unidades de la forma $ x + y \sqrt{d} $ donde $ x, y $ son no negativos, lo que reduce el problema a una búsqueda de fuerza bruta necesariamente finita.

Aunque el teorema de la unidad de Dirichlet implica necesariamente que la unidad encontrada anteriormente debe ser la unidad fundamental, existe una prueba más elemental de este hecho. Supongamos que $ \varepsilon $ es la menor unidad mayor que $ 1 $ y $ x $ es cualquier unidad mayor que $ 1 $ . Queremos demostrar que $ x $ es una potencia de $ \varepsilon $ . Dado que la secuencia $ a_n = \varepsilon^n $ diverge, hay un número entero mayor $ n $ tal que $ a_n = \varepsilon^n \leq x $ . Entonces, $ x/\varepsilon^n $ es una unidad $ \geq 1 $ pero es menor que $ \varepsilon $ desde $ x < \varepsilon^{n+1} $ . Según la definición de $ \varepsilon $ la única unidad en el intervalo $ [1, \varepsilon) $ es $ 1 $ por lo que se deduce que $ x = \varepsilon^n $ .

Un algoritmo más sofisticado para encontrar la unidad fundamental implica fracciones continuas, véase estas notas de clase para más información.

Answer 3

Ciertamente se ha discutido en MSE cómo encontrar una unidad fundamental para el grupo unitario del anillo de enteros de un campo de números reales cuadráticos $\mathbb{Q}(\sqrt{n})$ . Un buen estudio, cómo utilizar las fracciones continuas, y una tabla con ejemplos para el cuadrado libre $n\le 21$ se da aquí .

Observación: El anillo de enteros en $\mathbb{Q}(\sqrt{n})$ es no siempre $\mathbb{Z}(\sqrt{n})$ . Esto sólo es cierto para $n\equiv 2,3\bmod 4$ . Para el resto de casos $n\equiv 1 \bmod 4$ (nota que $n$ es libre de cuadrados), es ligeramente diferente. Un ejemplo aquí, con $n=141$ se discute aquí en MSE. El resultado es el siguiente: como $\sqrt{141}=[11,\overline{1,6,1,22}]$ tenemos que $95+8\sqrt{141}$ ¡es una unidad fundamental!