¿Las soluciones a la ecuación de onda pueden representarse mediante una función senoidal?

Question

Consideremos la ecuación de onda unidimensional: $$\frac{\partial^2 f(x, t)}{\partial t^2} - c^{2}\frac{\partial^2 f(x, t)}{\partial x^2} = 0. $$

Entiendo que se puedan encontrar soluciones "onduladas" a esta ecuación. Pero, $f(x, t) = x$ es una solución y es una simple ecuación lineal. Estoy trabajando en un texto de física, y siempre que llegamos a una función que satisface la ecuación de onda, siempre escribimos la solución como $A\sin (\omega t - kx)$ . Entiendo que se trata de una solución a la ecuación de onda, pero sin algún teorema profundo que afirme que "cualquier función que resuelva la ecuación de onda puede representarse como esta función seno" no me parece justo suponer que la función tenga esta forma. Para el ejemplo lineal, no creo que pueda ser representado por una función seno.

Answer 1

Dejemos que $u_1(x, t) = f_0(x -\sqrt{b} t)$ y $u_2(x, t) = f_0(x + \sqrt{b} t)$ podemos comprobar que $u_1(x,t)$ y $u_2(x,t)$ ambos satisfacen la ecuación de onda. La solución general es $u(x, t) = a u_1(x, t) + b u_2(x,t)$ . La solución representa el frente de la ola (en la playa, frente al océano, y dejar que el tiempo se detenga, la ola frente a usted es la forma de onda) que viaja a lo largo de la dirección del tiempo.