Demostrando que $\sum^\infty_{n=1}\left(\sin\left(\frac{1}{n}\right)-\ln\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)\right)$ diverge

Question

Por separado, puedo demostrar que ambas partes de la suma divergen, pero eso no me ayuda mucho. No veo ninguna prueba que pueda ser útil. Sé que ambos lados de la suma tienen formas populares de Taylor, así que puedo representarlos parcialmente como tales en torno a $x=0$ Pero mi pregunta es qué hago con el resto.

Answer 1

$$\begin{split}\sin\left(\frac 1 n\right)-\ln\left(1+\frac 1 {\sqrt n}\right)&=\left[\frac 1 n +\mathcal O\left(\frac 1 {n^3}\right)\right]-\left[\frac 1 {\sqrt n}-\frac 1 {2n}+\mathcal O\left(\frac 1 {n\sqrt n}\right)\right]\\ &=-\frac 1 {\sqrt n}+\frac 3 {2n}+\mathcal O\left(\frac 1 {n\sqrt n}\right)\\ &\sim -\frac 1 {\sqrt n}\end{split}$$