¿Es una operación de cierre topológico?

Question

¿Tiene alguna relación $\propto\,\subseteq X\times \mathcal P(X)$ que se extiende $'\!\!\in'$ en la forma en que:

1. $x\in M\Rightarrow x\propto M$
2. $\neg\exists x\in X:x\propto\emptyset$
3. $x\propto A \subseteq B \Rightarrow x\propto B$
4. $x\propto A\cup B\Rightarrow x\propto A \vee x\propto B$

define una operación de cierre sobre subconjuntos de $X$ por $x\in \overline M \Leftrightarrow x\propto M$ ?

Mi enfoque es: todos los conjuntos $\overline M$ satisface los axiomas de los conjuntos cerrados :

• $\emptyset$ está cerrado ya que $x\in\overline\emptyset\Leftrightarrow x\propto\emptyset \Leftrightarrow x\in\emptyset$
• $X$ está cerrado ya que $x\in \overline X\Leftrightarrow x\propto X\Leftrightarrow x\in X$
• $x\in \overline{A\cup B}\Leftrightarrow x\propto A\cup B\Leftrightarrow x\propto A \vee x\propto B\Leftrightarrow x\in\overline A\cup\overline B\quad$ (3 & 4)
• $\displaystyle x\in\overline{\bigcap_iM_i}\Leftrightarrow x\propto\bigcap_iM_i\Leftrightarrow\forall i: x\propto M_i\Leftrightarrow\forall i: x\in \overline{M}_i\Leftrightarrow x\in\bigcap_i\overline{M}_i\quad$ (3) $\;\square$

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Me quedé inseguro del método cuando Hagen von Eitzen demostró que una operación de cierre sobre $\mathcal P(X)$ que había definido con este método era defectuoso.

Answer 1

Su cuarto argumento es incorrecto. Como mencionó Martin Sleziak en los comentarios, $x\propto M_i$ para cada $i\in I$ no implica que $x\propto\bigcap_iM_i$ . Considere la relación $\propto$ definido en $\Bbb R\times\wp(\Bbb R)$ por $x\propto A$ si $x\in\operatorname{cl}A$ donde el cierre se toma en la topología euclidiana habitual; esta relación satisface evidentemente todos sus axiomas. Sin embargo, si establecemos $M_0=(0,1)$ y $M_1=(1,2)$ entonces $1\propto M_0$ y $1\propto M_1$ pero $1\not\propto\varnothing=M_0\cap M_1$ .

Tenga en cuenta que esto no significa que $M\mapsto\overline M$ no es un operador de cierre: el operador de cierre ordinario en $\Bbb R$ tampoco satisface su cuarta condición. La verdadera pregunta es si sus axiomas implican que si $x\propto\overline M$ entonces $x\in\overline M$ para que $M\mapsto\overline M$ es idempotente. Desgraciadamente, no es así.

Definir $\propto\subseteq\Bbb N\times\wp(\Bbb N)$ de la siguiente manera: $n\propto A$ si y sólo si

• $n\in A$ o
• $A\ne\varnothing$ y $n=\min(\Bbb N\setminus A)$ .

Es sencillo comprobar que $\propto$ satisface las condiciones (1)-(4). Sin embargo, $\overline{\{0\}}=\{0,1\}$ pero $\overline{\{0,1\}\}}=\{0,1,2\}\ne\{0,1\}$ : $2\propto\overline{\{0\}}$ pero $2\notin\overline{\{0\}}$ .