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¿Es una operación de cierre topológico?

¿Tiene alguna relación X×P(X) que se extiende en la forma en que:

  1. xMxM
  2. ¬xX:x
  3. xABxB
  4. xABxAxB

define una operación de cierre sobre subconjuntos de X por x¯MxM ?

Mi enfoque es: todos los conjuntos ¯M satisface los axiomas de los conjuntos cerrados :

  • está cerrado ya que x¯xx
  • X está cerrado ya que x¯XxXxX
  • x¯ABxABxAxBx¯A¯B (3 & 4)
  • x¯iMixiMii:xMii:x¯Mixi¯Mi (3)

Me quedé inseguro del método cuando Hagen von Eitzen demostró que una operación de cierre sobre P(X) que había definido con este método era defectuoso.

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DiGi Puntos 1925

Su cuarto argumento es incorrecto. Como mencionó Martin Sleziak en los comentarios, xMi para cada iI no implica que xiMi . Considere la relación definido en R×(R) por xA si xclA donde el cierre se toma en la topología euclidiana habitual; esta relación satisface evidentemente todos sus axiomas. Sin embargo, si establecemos M0=(0,1) y M1=(1,2) entonces 1M0 y 1M1 pero 1∝̸ .

Tenga en cuenta que esto no significa que M\mapsto\overline M no es un operador de cierre: el operador de cierre ordinario en \Bbb R tampoco satisface su cuarta condición. La verdadera pregunta es si sus axiomas implican que si x\propto\overline M entonces x\in\overline M para que M\mapsto\overline M es idempotente. Desgraciadamente, no es así.

Definir \propto\subseteq\Bbb N\times\wp(\Bbb N) de la siguiente manera: n\propto A si y sólo si

  • n\in A o
  • A\ne\varnothing y n=\min(\Bbb N\setminus A) .

Es sencillo comprobar que \propto satisface las condiciones (1)-(4). Sin embargo, \overline{\{0\}}=\{0,1\} pero \overline{\{0,1\}\}}=\{0,1,2\}\ne\{0,1\} : 2\propto\overline{\{0\}} pero 2\notin\overline{\{0\}} .

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