En [1] he encontrado una definición de la derivada covariante de un campo de Dirac con una conexión general $\omega_{\mu a}{}^{b}$ (con torsión y sinmetría) [véase la ec. (29)]:
$$\nabla_{\mu}\psi=\partial_{\mu}\psi-\frac{1}{4}\omega_{\mu ab}\gamma^{a}\gamma^{b}\psi$$
Utilizan la llamada elevación de Kosmann, para construir la conexión espinor $$\Gamma_{\mu}=-\frac{1}{4}\omega_{\mu ab}\gamma^{a}\gamma^{b}$$ de $\omega_{\mu a}{}^{b}$ . Tengo dos preguntas,
(Pregunta 1) ¿Existe una forma sencilla de explicar ese "ascensor de Kosmann"? Tengo ideas básicas sobre la teoría de haces de fibras, pero me pierdo completamente si profundizamos en ese formalismo. No busco una explicación estrictamente rigurosa.
(Pregunta 2) Si se expande esa derivada covariante se obtiene la lorentziana estándar más un nuevo término que no se transforma bien bajo transformaciones de Lorentz:
$$\nabla_{\mu}\psi=\partial_{\mu}\psi-\frac{1}{4}\omega_{\mu ab}\gamma^{[a}\gamma^{b]}\psi- \frac{1}{4}\omega_{\mu a}{}^{a}\psi =\nabla_{\mu}^{Lor}\psi-\frac{1}{4}\omega_{\mu a}{}^{a}\psi$$
Yo pensaría que esta expresión no puede ser una "buena derivada covariante" porque se quiere escribir algo Diff y (local) invariante de Lorentz. ¿Estoy equivocado?
[1] M. Adak, T. Dereli, L.H. Ryder, La ecuación de Dirac en espacios-tiempo con torsión y no-metricidad. arXiv:gr-qc/0208042
