Intentar resolver un sistema de desigualdades

Question

Tengo este tipo de sistema de desigualdades (con una igualdad):

1. $x+y+z=1$

2. $ax+by+cz \leq 2 $

3. $a^2x+b^2y+c^2z \leq 6 $

4. $a^3x+b^3y+c^3z \leq 14 $

y así sucesivamente... (podría continuar con 5. 6. 7.... la potencia siempre aumenta en uno y conozco el valor de la derecha).

$x,y,z$ son mis incógnitas y $a,b,c$ son conocidos.

¿Podría obtener una solución (o una aproximación) para $x,y$ y $z$ a medida que el número de desigualdades crece, no lo veo?

Gracias

Answer 1

No es una respuesta completa, pero es demasiado larga para un comentario: supongamos primero que todas las cantidades implicadas son positivas por comodidad. Sea $u=(x,y,z)$ y que $v_n=(a^n,b^n,c^n)$ . Las desigualdades se traducen en el sistema $$\begin{cases} u\cdot\vec{1}=1\\u\cdot v_k\leq b_k,\,1\leq k\leq n \end{cases}$$ para unas constantes dadas $b_k$ . Por Cauchy-Schwarz, tenemos que $u\cdot v_k\leq |u||v_k|$ por lo que una condición suficiente (pero no necesaria) para que el sistema de desigualdades se cumpla es $|u||v_k|\leq b_k$ para cada $k$ , o lo que es lo mismo $$x^2+y^2+z^2\leq \frac{b_k^2}{a^{2k}+b^{2k}+c^{2k}}.$$ Ahora, recorremos $1\leq k\leq n$ y calcular $$m=\min_{1\leq k\leq n}\left\{\frac{b_k^2}{a^{2k}+b^{2k}+c^{2k}}\right\}.$$ Una vez calculado esto, nos queda la restricción $|u|<\sqrt m$ que es una bola abierta en $\mathbb R^3$ . Por otro lado $u\cdot\vec{1}=1$ representa un plano, por lo que tomando cualquier vector $u$ que se encuentra en su intersección es suficiente.

Sin embargo, esto no es una solución completa: el método puede fallar porque podría no haber $u$ en su intersección, aunque existe $u$ que satisface el sistema original. Esto se debe al uso de Cauchy-Schwarz, que no es un criterio "si" y "sólo".