En cuanto al teorema de la función implícita

Question

La formulación en James R. M Análisis en colectores del Teorema de la Función Implícita es el siguiente

(Teorema de la función implícita). Sea $A$ estar abierto en $\mathbb{R}^{k+n}$ ; dejar que $f:A\rightarrow \mathbb{R}^n$ ser de clase $C^r$ . Escriba $f$ en la forma $f(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ , para $\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^k$ y $\boldsymbol{y}\in \mathbb{R}^n$ . Supongamos que $(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})$ es un punto de $A$ tal que $f(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}) = 0$ y $$\det \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{y}}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})\neq 0.$$ Entonces hay un barrio $B$ de $\boldsymbol{a}$ en $\mathbb{R}^k$ y una única función continua $g:B\rightarrow \mathbb{R}^n$ tal que $g(\boldsymbol{a}) = \boldsymbol{b}$ y $$f(\boldsymbol{x},g(\boldsymbol{x})) = 0$$ para todos $\boldsymbol{x}\in B$ . La función $g$ es de hecho de la clase $C^r$ .

Ahora lo que me pregunto es si se puede concluir de este teorema que hay una vecindad $U$ de $(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})$ en $\mathbb{R}^{k+n}$ tal que para $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\in U$ tenemos que $$f(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = 0\Leftrightarrow \boldsymbol{y} = g(\boldsymbol{x}).$$

Siento instintivamente que esto último no se deduce necesariamente de forma directa, pero tengo curiosidad por saber cómo se puede demostrar. He intentado argumentar por contradicción: que hay una secuencia de puntos $\{(\boldsymbol{x}_n,\boldsymbol{y}_n)\}_n$ convergiendo a $(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})$ tal que $f(\boldsymbol{x}_n,\boldsymbol{y}_n) = 0$ y $g(\boldsymbol{x}_n) \neq \boldsymbol{y_n}$ Sin embargo, no he podido completar el argumento, por lo que agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Intentaré ceñirme a la notación del libro en la medida de lo posible. Recordemos que $B$ es una vecindad abierta de $a$ et $V$ es una vecindad abierta de $b$ (que contiene $g(B)$ ). En el libro Munkres ya demostró explícitamente que para cada $x \in B$ tenemos $f(x,g(x)) = 0$ . Por lo tanto, lo único que queda por demostrar es que para cualquier $(x,y) \in B \times V$ , si $f(x,y) = 0$ entonces $y=g(x)$ .

Antes de hacerlo, definamos el mapa de proyección $\pi_2: \Bbb{R}^k \times \Bbb{R}^n \to \Bbb{R}^n$ , por \begin{equation} \pi_2(x,y) = y. \end{equation} Ahora, elige cualquier $(x,y) \in B \times V$ y supongamos que $f(x,y) = 0$ . Entonces, \begin{align} g(x) &:= h(x,0) \\ &:= (\pi_2\circ G)(x,0) \\ &= (\pi_2\circ G)(x,f(x,y)) \tag{since $f(x,y) = 0$} \\ &:= (\pi_2 \circ G)[F(x,y)] \\ &= \pi_2(x,y) \tag{since $G := F^{-1}$} \\ &:= y \end{align} Esto completa la prueba. Como se puede ver, esto realmente sigue sobre todo por la definición de los mapas construidos. Pero creo que este resultado debería haberse incluido como parte de la conclusión del teorema.