Hay una prueba de que el primer principio de que el Lagrangiano L = T - V?

Question

Hay una prueba de que el primer principio que para el Lagrangiano $L$,

$$L = T\text{(kinetic energy)} - V\text{(potential energy)}$$

en la mecánica clásica? Supongamos que las coordenadas Cartesianas se utilizan. Entre las combinaciones, $L = T - nV$ sólo $n=1$ obras. Hay una razón fundamental para ello?

Por otro lado, el principio variacional utilizados para derivar las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange ecuación, es lo suficientemente general (puede ser utilizado para encontrar el óptimo de cualquier parametrizadas integral) y no especifica la forma de Lagrange. Aprecio por la persona que da la respuesta, y si es posible, la fuente primaria (que publicó la primera respuesta en la literatura).

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Notas agregadas en Sept 22:
- Ambas respuestas son correctas en la medida que puedo encontrar. Tanto ms responden que no estaban seguros acerca de lo que significa el término que utiliza: "primer principio". Me gustaría elaborar lo que yo estaba pensando, no pretende ser condescendiente o algo cercano a eso. Por favor, tener un poco de comprensión si las palabras que yo uso no son bien pensado.
- Nosotros hacemos ciencia mediante la recopilación de hechos, la formación de las leyes experimentales, la construcción de una teoría que generaliza las leyes, a continuación, volvemos al laboratorio y encontrar si la generalización de la parte puede ponerse de pie, a la verificación. Las leyes de Newton están cerca del final de las leyes experimentales, lo que significa que se puede comprobar con facilidad en el laboratorio. Estas leyes no están limitados a la gravedad, pero se utilizan principalmente bajo la condición de gravedad. Cuando podemos generalizar y expresar en Lagrange o de Hamilton, pueden ser utilizadas donde las leyes de Newton no puede, por ejemplo, en electromagnetismo, o de cualquier otra fuerza desconocida para nosotros. De lagrange o de Hamilton y de la que se derivan las ecuaciones de movimiento son generalizaciones y más en la teoría lado, relativamente hablando, al menos los que son un poco más teórico que las leyes de Newton. Todavía vamos a laboratorio para comprobar que estas generalizaciones, pero es algo más difícil de hacerlo, como lo tenemos que usar el Gran Colisionador de hadrones.
- Pero aquí es un problema nuevo, como @Jerry Schirmer, señaló en su comentario y estoy de acuerdo. Lagrange es una gran herramienta si sabemos de su expresión. Si no lo hacemos, estamos perdidos. Lagrange es casi tan inútil como las leyes de Newton para una nueva fuerza misteriosa. Es casi tan inútil, pero no del todo, porque podemos prueba y error. Tenemos mucho de lo mejor de la suerte a prueba y error en Lagrange que en las ecuaciones de movimiento.
- Oh, variacional es un "primer principio" en mi mente y se utiliza para derivar de Euler-Lagrange ecuación. Pero variacional no da una pista acerca de la expresión explícita de Lagrange. Este es el punto que estoy conduciendo. Esta es la razón por la que estoy buscando ayuda, por ejemplo, en la Física SE. Si alguien sabía la razón por la que n=1 L=T-nV, entonces podríamos usar este razonamiento para averiguar acerca de una fuerza misteriosa. Parece que alguien está en el futuro.

Answer 1

Suponemos que la OP por el término de un primer principio en este contexto significa que las leyes de Newton , más que el principio de acción estacionaria$^1$. De hecho, es posible derivar las ecuaciones de Lagrange a partir de las leyes de Newton, cf. este Phys.SE la respuesta.

Esbozó una prueba: consideremos un no-relativista$^2$ Newtoniano problema de $N$ punto de partículas con las posiciones de ${\bf r}_1, \ldots, {\bf r}_N$, con coordenadas generalizadas $q^1, \ldots, q^n$, e $m=3N-n$ holonomic restricciones.

Supongamos por simplicidad, suponga que la fuerza aplicada se ha generalizado (posiblemente dependiente de la velocidad) potencial de $U$. (Este por ejemplo, las normas de fuerzas de rozamiento proporcional a la velocidad.)

A continuación, es posible derivar la siguiente clave de identidad

$$\etiqueta{1} \sum_{i=1}^N \left(\dot{\bf p}_i-{\bf F}_i\right)\cdot \delta {\bf r}_i ~=~ \sum_{j=1}^n \left(\frac{d}{dt} \frac{\partial (T-U)}{\parcial \dot{p}^j} -\frac{\partial (T-U)}{\partial q^j}\right) \delta p^j. $$

Aquí $\delta$ denota una infinitesimal virtual desplazamiento consistente con las restricciones. Por otra parte, ${\bf F}_i$ es la fuerza aplicada (es decir, la fuerza total, menos el de la restricción de fuerzas) en el $i$'th partícula. El Lagrangiano $L:=T-U$ se define aquí como la diferencia de$^3$ entre la cinética y la energía potencial. Tenga en cuenta que el lado derecho de la ecuación. (1) contiene precisamente la de Euler-Lagrange operador.

D'Alembert principio se dice que el lado izquierdo de la ecuación. (1) es cero. Entonces las ecuaciones de Lagrange se deduce del hecho de que el desplazamiento virtual $\delta q^j$ en la generalización de las coordenadas de la onu es limitado y arbitrario.

D'Alembert principio a su vez sigue a partir de las leyes de Newton utilizando algunas suposiciones acerca de la forma de las limitadas fuerzas. (E. g. suponemos que no hay fricción de deslizamiento.) Ver Ref. 1 y esta Phys.SE post para más detalles.

Referencias:

1. H. Goldstein, De La Mecánica Clásica, Capítulo 1.

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$^1$ Uno siempre debe tener en mente que, en la clásica de nivel (lo que significa $\hbar=0$), el Lagrangiano $L$ está lejos de ser único, en el sentido de que muchos de los diferentes Lagrangians puede producir la misma nca. de movimiento. E. g. siempre es posible añadir un tiempo total de derivados para el Lagrangiano, o a la escala de Lagrange con una constante. Ver también este Phys.SE post.

$^2$ Es posible extender a una especial versión relativista de la mecánica Newtoniana por (entre otras cosas) la sustitución de la no-relativista fórmula $T=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N m_i v^2_i $ $T=-\sum_{i=1}^N \frac{m_{0i}c^2}{\gamma(v_i)}$ más que la energía cinética $\sum_{i=1}^N [\gamma(v_i)-1]m_{0i}c^2$. Ver también este Phys.SE post.

$^3$ OP es reflexionar sobre por qué el Lagrangiano $L$ no es de la forma $T-\alpha U$ para algunas constantes $\alpha\neq 1$? De hecho, la clave de la identidad (1) puede ser generalizado como sigue

$$\etiqueta{1'} \sum_{i=1}^N \left(\dot{\bf p}_i-\alpha{\bf F}_i\right)\cdot \delta {\bf r}_i ~=~ \sum_{j=1}^n \left(\frac{d}{dt} \frac{\partial (T-\alpha U)}{\parcial \dot{p}^j} -\frac{\partial (T-\alpha U)}{\partial q^j}\right) \delta p^j. $$

Así que el hecho de que el Lagrangiano $L$ no es de la forma $T-\alpha U$ $\alpha\neq 1$ es directamente relacionados con la 2ª ley de Newton no es de la forma$\dot{\bf p}_i=\alpha {\bf F}_i$$\alpha\neq 1$.

Answer 2

Permítanme asumir que "los primeros principios" significa las leyes de Newton, pero en algo más que abarca la formulación de las ecuaciones de Hamilton, que decir que, dada una función Hamiltoniana $H$, luego de la canónica de impulso (I mostrar una sola uno sólo para cada uno de notación) está relacionada con la velocidad por

$$ \dot q = \frac{\partial H}{\partial p} $$

y que la dinámica de la ecuación de movimiento (generalizando $F = m a$) es

$$ \dot p = -\frac{\partial H}{\partial q} \,. $$

Así, en un intervalo de tiempo infinitesimal $\epsilon$ de las coordenadas y momentos de evolucionar

$$ q_\epsilon = q + \frac{\partial H}{\partial p} \epsilon $$

y

$$ p_\epsilon = p - \frac{\partial H}{\partial q} \epsilon \,. $$

Al mismo tiempo, el cambio de coordenadas canónicas/canónica momenta está relacionado con el Lagrangiano $L$ ("funciones de generación de transformaciones canónicas")

$$ p_\epsilon \mathbf{d}q_{\epsilon} - p \mathbf{d}q = \epsilon \mathbf{d}L \,. $$

Ahora podemos calcular:

$$ \begin{aligned} p_\epsilon \, \mathbf{d} q \epsilon - p \mathbf{d} q & = \left(p - \frac{\partial H}{\partial q} \epsilon \right) \mathbf{d} \left( q + \frac{\partial H}{\partial p} \epsilon \right) - p \mathbf{d}q \\ & = \epsilon \left( p \mathbf{d}\frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial H}{\partial q} \mathbf{d}q \right) \\ & = \epsilon \left( \mathbf{d}\left( p \frac{\partial H}{\partial p}\right) - \frac{\partial H}{\partial p} \mathbf{d} p - \frac{\partial H}{\partial q} \mathbf{d}q \right) \\ & = \epsilon \mathbf{d} \left( p \frac{\partial H}{\partial p} - H \right) \end{aligned} \,. $$

Por lo tanto, en general, el Lagrangiano es

$$ L := p \frac{\partial H}{\partial p} - H \,. $$

Ahora si $H$ tiene la forma estándar (ajuste $m = 1$ por simplicidad)

$$ H = H_{kin} + H_{olla} = \tfrac{1}{2}p^2 + V(q) $$

entonces

$$ L = H_{kin} - H_{olla} \,. $$

Por cierto, cualquier persona que goza de una más general abstracto perspectiva sobre lo que está pasando aquí puede disfrutar de aprender de esta historia se traduce al lenguaje de "prequantized de Lagrange correspondencias", para más sobre esto, vea en el nLab aquí,

Answer 3

He encontrado un wikilink, Lagrange_multiplier, eso responde a mi pregunta:

"Por lo tanto, la fuerza sobre una partícula debido a un potencial escalar, $F=-\nabla V$, puede ser interpretado como un multiplicador de Lagrange determinar el cambio en la acción (transferencia de potencial a energía cinética) a raíz de la variación en la partícula con limitaciones a la trayectoria."

${\ \ }$En otras palabras, la energía potencial $V$ se convierte en un conjunto de restricciones para el Lagrangiano $L=T-nV$ donde $n$ es el multiplicador de Lagrange que necesita ser determinado. La variación
$\delta \int_{t_1}^{t_2}L(\dot q_1,...,\dot q_N,q_1, ..., q_N)dt=0 $
se convirtió en $2N$ ecuaciones, $N$ cuales son las ecuaciones de movimiento
$\frac{d}{dt} ( \nabla_{\dot q}T)+n \nabla{_q}V=0$
y el otro $N$ ecuaciones son las restricciones. Resultó $n=1$.
${\ \ }$El multiplicador de Lagrange método tiene sentido debido a que $V$ es la ruta de acceso independiente, por lo tanto, su variación a lo largo de diferentes rutas de acceso es siempre cero:
$\delta \int_{t_1}^{t_2}Vdt≡0. $
Cuando aplicamos variacional a $\delta \int_{t_1}^{t_2}Ldt≡0$, sólo el $T$ plazo varía. Cuando añadimos $n \int_{t_1}^{t_2}Vdt $ arbitrarias $n$, nada cambia. Pero si pensamos en la $V$ plazo como las restricciones en las que la partícula se mueve, entonces tenemos el derecho de las ecuaciones de movimiento.

Answer 4

El $n$ $L=T-nV$ puede ser visto como un reescalado factor de potencial. $n$ no cambia la física. Por ejemplo la gravedad, $n$ puede ser absorbido en la constante de gravitación. Véase también el presente.