Ultrafiltros de peso $\aleph_2$ en el modelo Sacks

Question

Es bien sabido que en el modelo de Sacks hay puntos P e incluso ultrafiltros de Ramsey, pero lo que hacen las pruebas habituales (es decir, las que se pueden encontrar en la literatura) para estos hechos es demostrar que los puntos P del modelo básico (o los ultrafiltros de Ramsey) se conservan mediante el forzamiento de Sacks (es decir, siguen generando un ultrafiltro en la extensión). Así, los únicos ejemplos de puntos P o ultrafiltros de Ramsey que conozco en el modelo de Sacks son los que ya existían en el modelo básico, por lo que todos tienen peso $\aleph_1$ (es decir, son generados por $\aleph_1$ muchos elementos, ya que el modelo de suelo satisface la CH). Así que mi pregunta es:

¿Se sabe si existen puntos P y/o ultrafiltros de Ramsey de peso $\aleph_2$ en el modelo de Sacks? (en realidad mi verdadera pregunta es: si es así, ¿cómo se construyen?, supongo)

Answer 1

Supongo que con "el modelo de Sacks" te refieres al resultado de una iteración de soporte contable de Sacks forzando a $\omega_2$ pasos sobre un modelo de suelo que satisface GCH. En ese sentido, creo que la respuesta a su pregunta es no. Si $U$ es un punto P en el modelo final, entonces, por un argumento de reflexión, habrá ordinales $\alpha<\omega_2$ tal que $U\cap V[G_\alpha]$ es un punto P en $V[G_\alpha]$ (donde $G_\alpha$ es la parte del ultrafiltro genérico que fue producida por el primer $\alpha$ etapas de la iteración). Dado que $V[G_\alpha]$ satisface CH, este punto P $U\cap V[G_\alpha]$ es generado por $\aleph_1$ conjuntos. Además, al ser un punto P, se conservará a través de las etapas posteriores (de $\alpha$ a $\omega_2$ ) de la iteración. Esto significa que el $\aleph_1$ generadores de $U\cap V[G_\alpha]$ generar realmente todos los $U$ en el modelo final.