Ejemplo de verificación del teorema de Rouché

Question

Tengo que usar el Teorema de Rouché para comprobar cuántos ceros en $D(0,2)$ (disco con centro 0 y radio 2) tienen las siguientes funciones

• $z^3+6z-1$
• $z^3+6z+1$

Ahora, la primera: $f(z) = 6z, g(z) = z^3+6z-1$ por lo que para $|z| = 2$ $$ |f(z)-g(z)| = |-z^3+1| \leq |-z^3| + |1| \leq 9 < 12 = |6z| = |f(z)| $$ Por tanto, se cumple el Teorema de Rouché y $z^3+6z-1$ tiene un cero en $D(0,2)$ porque $f(z)=6z$ tiene sólo un cero. ¿Es eso correcto?

¿Es diferente el segundo ejemplo?

Answer 1

Su prueba para $f_1(z) = z^3 + 6z -1$ es correcto.

$f_2(z) = z^3 + 6z + 1$ puede tratarse de la misma manera, o simplemente observando que $$ f_2(z) = - f_1(-z) \, . $$