¿Existen ejemplos de enunciados demostrados cuyas pruebas de consistencia sean anteriores a sus pruebas?

Question

Me pregunto si hay ejemplos de enunciados demostrados cuyas pruebas de consistencia sean anteriores a las pruebas de los propios enunciados.

De manera más informal, me pregunto hasta qué punto es prometedor, en general, el planteamiento de intentar una prueba de consistencia para un enunciado cuando nos enfrentamos a un enunciado que parece verdadero pero difícil de demostrar.

Antecedentes:

Si un enunciado es demostrable a partir de un conjunto de axiomas, entonces ese enunciado es obviamente consistente (asumiendo que el conjunto de axiomas es consistente). Por tanto, la demostrabilidad es más fuerte que la consistencia. Esto podría llevarnos a pensar que construir una prueba de consistencia para un enunciado debería ser estrictamente más fácil que construir una prueba.

Sin embargo, las pruebas de consistencia (al menos las más citadas, por ejemplo las de Godel y Cohen sobre la Hipótesis del Continuo) parecen requerir un alto nivel de sofisticación (aunque esto podría ser un subproducto del hecho de que las pruebas de consistencia como éstas son para la clase especial de enunciados que no pueden ser probados).

Para los enunciados que se pueden demostrar entonces, ¿hay casos en los que sus pruebas de consistencia son más fáciles o llegaron antes que las propias pruebas?

Actualización:

Muchas gracias a todos por las estupendas respuestas hasta ahora. El número y la existencia de estos ejemplos me resulta interesante, así como el hecho de que todos ellos se basan en la misma técnica de demostrar primero algo utilizando un axioma adicional (un enfoque sugerido por primera vez por Michael Greinecker). Eso no se me había ocurrido. Me pregunto si hay otros enfoques.

Answer 1

Una de las principales aplicaciones de La teoría del PCF de Shelah es el célebre teorema de que si $\aleph_\omega$ es un límite fuerte, entonces $2^{\aleph_\omega}\lt\aleph_{\omega_4}$ .

Sin embargo, la conclusión del teorema es una consecuencia inmediata de la hipótesis del continuo generalizado, por lo que la consistencia de esta afirmación se conocía mucho antes de que Shelah hiciera su demostración. El aspecto sorprendente del teorema es precisamente el hecho de que es demostrable sin ninguna suposición sobre la función del continuo.

Es probable que haya muchos otros ejemplos de afirmaciones que se demostraron por primera vez a partir de una suposición de GCH (o que son triviales bajo GCH), pero para las que posteriormente se eliminó esta suposición. Y, de hecho, en estos casos los argumentos posteriores más generales también suelen ser más difíciles, como sugieres.

Answer 2

Estos son mis ejemplos favoritos de afirmaciones cuya consistencia fue establecida y apreciada antes de su prueba.

1. El Teorema del isomorfismo de Keisler-Shelah que afirma que dos estructuras elementalmente equivalentes tienen ultrapoderes isomórficos (demostrado mediante in $ZFC+GCH$ por Keisler en 1964, y en $ZFC$ por Shelah en 1971).

2. Varios resultados algebraicos (formas normales, algoritmos de división, etc.) relativos a las "álgebras distributivas de izquierda de un generador" fueron establecidos por primera vez por Richard Laver por asumiendo cardenales (muy) grandes (conocido como (I3) en la literatura). Más tarde Patrick Dehornoy eliminó la suposición de cardinal grande en estos resultados dando una representación en el grupo de trenzas.

Por cierto, un álgebra distributiva izquierda es un conjunto con una operación binaria * que satisface la ley distributiva izquierda $a*(b*c)=(a*b)*(a*c)$ La operación de conjugación en un grupo es un ejemplo. He aquí un antiguo papel de Laver sobre este tema; ya existe una amplia bibliografía al respecto.

3. En algunos casos, la prueba de consistencia de una declaración $S$ puede combinarse con algún argumento de absolutez para obtener una prueba de $S$ (esto se insinuó en el segundo ejemplo citado por Steprans). Hay todo tipo de teoremas absolutos en lógica; la herramienta estándar del oficio es el Teorema de la absolutez de Shoenfield que muestra que todo tipo de resultados de consistencia pueden traducirse en $ZFC$ -prueba.

Answer 3

Un ejemplo muy bueno, creo, es el teorema de A. Blass de que AC se mantiene si y sólo si todo espacio vectorial tiene una base.

Fue bien establecido que la existencia de un espacio vectorial sin base es consistente con la negación de AC, por Lauchli, 1963. Sólo 21 años después se demostró que ZF+no AC prueba existe tal espacio vectorial.

Probablemente haya otros ejemplos similares de afirmaciones equivalentes de AC de naturaleza similar.

Answer 4

Teniendo en cuenta todas las respuestas hasta ahora, he pensado que podría añadir una con un sabor más topológico

1. La existencia de un espacio L se sabía que era consistente desde hace años (véase The Handbook of Set-Theoretic Topology, capítulo 7, pág. 295). Sólo recientemente se ha dado una construcción ZFC aquí

2. Algunas de las pruebas de existencia de ciertos tipos de incrustaciones, y de los automorfismos entre álgebras booleanas tienen este toque, (Ver "La cuarta cabeza de $\beta\mathbb{N}$ " por Ilijas Farah, en Open Problems in Topology II. pg 139.)

3. Ciertos tipos de preguntas retorcidas sobre coberturas de $\mathbb{R}$ que implican las imágenes directas e inversas de $\aleph_1$ muchas funciones continuas, han tenido cierto éxito con este ver esta respuesta

Answer 5

Dejemos que $c(X)$ denotan la celularidad del espacio topológico $X$ que es la suma de las cardinalidades de sus familias de subconjuntos abiertos no vacíos disjuntos.

A principios de los años 60, Kurepa preguntó:

¿Existe un espacio compacto de Hausdorff $X$ tal que $c(X)<c(X^2)$ ?

y señaló que si $\mathbb{L}$ es una línea de Suslin, entonces $c(\mathbb{L})=\aleph_0<c(\mathbb{L}^2)$ .

Por lo tanto, la consistencia de una respuesta positiva a la pregunta de Kurepa se conoce desde las primeras construcciones de árboles de Suslin utilizando el forzamiento de Jech y Tennenbaum a finales de los años 60. Más tarde Galvin pudo obtener un espacio compacto CCC cuyo cuadrado no es CCC a partir de la Hipótesis del Continuo.

Y aunque la existencia de un espacio CCC cuyo cuadrado no es CCC es independiente de ZFC (un producto arbitrario de espacios CCC es CCC bajo $MA_{\omega_1}$ por ejemplo), a mediados de los 80 Todorcevic sorprendió a todos construyendo un espacio compacto $X$ tal que $c(X)<c(X^2)$ en ZFC.

http://archive.numdam.org/article/CM_1986__57_3_357_0.pdf

El artículo de Todorcevic contenía muchas otras construcciones ZFC de objetos cuya consistencia se conocía previamente, incluyendo generalizaciones cardinales superiores de $S$ -espacios y $L$ -espacios.