Alguien afirmó que un número, multiplicado por el número que le sigue más 17 es siempre primo, y mostró varios casos. No soy un completo aficionado a la Teoría de Números, y sé que $17*18+17=17*19$ por lo que no funciona para $n\equiv0(\mod17)$ pero ¿funciona siempre para otros $n$ ¿valores? Si no es así, ¿puede alguien darme un contraejemplo que pueda mostrar a esa persona para que pueda corregir su afirmación?
Respuestas
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Bueno. Tenga en cuenta que tanto $17$ $4 \cdot 17 - 1 = 67$ es de los primeros, y el positivo binario forma cuadrática $$ x^2 + x y + 17 y^2 $$ is in a discriminant ($-67$) of only one equivalence class of forms. So, the 1913 theorem of Rabinowitz shows that the values of $n^2 + n + 17$ must be prime for $0 \leq n \leq 15.$ I give a proof of both directions of Rabinowitz (1913) at Is the notorious $n^2 + n + 41$ prime generator the last of its type?
Here are the first 100 composite $n^2 + n + 17$ that are not divisible by $17.$ Note that all prime factors $p$ of these must have either $p=67$ or Legendre symbol $(p|67)=1.$
n n^2 + n + 17
1 20 437 = 19 * 23
2 25 667 = 23 * 29
3 32 1073 = 29 * 37
4 36 1349 = 19 * 71
5 39 1577 = 19 * 83
6 41 1739 = 37 * 47
7 43 1909 = 23 * 83
8 48 2369 = 23 * 103
9 52 2773 = 47 * 59
10 54 2987 = 29 * 103
11 55 3097 = 19 * 163
12 58 3439 = 19 * 181
13 61 3799 = 29 * 131
14 65 4307 = 59 * 73
15 66 4439 = 23 * 193
16 69 4847 = 37 * 131
17 71 5129 = 23 * 223
18 74 5567 = 19 * 293
19 77 6023 = 19 * 317
20 78 6179 = 37 * 167
21 80 6497 = 73 * 89
22 83 6989 = 29 * 241
23 88 7849 = 47 * 167
24 89 8027 = 23 * 349
25 90 8207 = 29 * 283
26 93 8759 = 19 * 461
27 94 8947 = 23 * 389
28 96 9329 = 19 * 491
29 97 9523 = 89 * 107
30 99 9917 = 47 * 211
31 100 10117 = 67 * 151
32 105 11147 = 71 * 157
33 106 11359 = 37 * 307
34 107 11573 = 71 * 163
35 111 12449 = 59 * 211
36 112 12673 = 19 * 23 * 29
37 115 13357 = 19^2 * 37
38 116 13589 = 107 * 127
39 117 13823 = 23 * 601
40 122 15023 = 83 * 181
41 124 15517 = 59 * 263
42 126 16019 = 83 * 193
43 131 17309 = 19 * 911
44 134 18107 = 19 * 953
45 137 18923 = 127 * 149
46 138 19199 = 73 * 263
47 140 19757 = 23 * 859
48 141 20039 = 29 * 691
49 143 20609 = 37 * 557
50 146 21479 = 47 * 457
51 148 22069 = 29 * 761
52 150 22667 = 19 * 1193
53 151 22969 = 103 * 223
54 157 24823 = 103 * 241
55 158 25139 = 23 * 1093
56 160 25777 = 149 * 173
57 163 26749 = 23 * 1163
58 167 28073 = 67 * 419
59 172 29773 = 19 * 1567
60 176 31169 = 71 * 439
61 177 31523 = 29 * 1087
62 178 31879 = 71 * 449
63 180 32597 = 37 * 881
64 181 32959 = 23 * 1433
65 182 33323 = 47 * 709
66 183 33689 = 59 * 571
67 185 34427 = 173 * 199
68 188 35549 = 19 * 1871
69 189 35927 = 37 * 971
70 191 36689 = 19 * 1931
71 192 37073 = 131 * 283
72 193 37459 = 47 * 797
73 199 39817 = 29 * 1373
74 200 40217 = 131 * 307
75 201 40619 = 151 * 269
76 205 42247 = 83 * 509
77 206 42659 = 29 * 1471
78 207 43073 = 19 * 2267
79 208 43489 = 157 * 277
80 209 43907 = 23^2 * 83
81 210 44327 = 19 * 2333
82 211 44749 = 73 * 613
83 212 45173 = 199 * 227
84 217 47323 = 37 * 1279
85 218 47759 = 163 * 293
86 223 49969 = 107 * 467
87 226 51319 = 19 * 37 * 73
88 227 51773 = 23 * 2251
89 228 52229 = 29 * 1801
90 229 52687 = 19 * 47 * 59
91 232 54073 = 23 * 2351
92 234 55007 = 67 * 821
93 235 55477 = 29 * 1913
94 239 57377 = 181 * 317
95 240 57857 = 47 * 1231
96 241 58339 = 227 * 257
97 242 58823 = 59 * 997
98 243 59309 = 127 * 467
99 245 60287 = 19^2 * 167
100 247 61273 = 71 * 863
n n^2 + n + 17
0 17 = 17
1 19 = 19
2 23 = 23
3 29 = 29
4 37 = 37
5 47 = 47
6 59 = 59
7 73 = 73
8 89 = 89
9 107 = 107
10 127 = 127
11 149 = 149
12 173 = 173
13 199 = 199
14 227 = 227
15 257 = 257
16 289 = 17^2
17 323 = 17 * 19
18 359 = 359
19 397 = 397
20 437 = 19 * 23
21 479 = 479
22 523 = 523
23 569 = 569
24 617 = 617
25 667 = 23 * 29
26 719 = 719
27 773 = 773
28 829 = 829
29 887 = 887
30 947 = 947
31 1009 = 1009
32 1073 = 29 * 37
33 1139 = 17 * 67
34 1207 = 17 * 71
35 1277 = 1277
36 1349 = 19 * 71
37 1423 = 1423
38 1499 = 1499
39 1577 = 19 * 83
40 1657 = 1657
41 1739 = 37 * 47
42 1823 = 1823
43 1909 = 23 * 83
44 1997 = 1997
45 2087 = 2087
46 2179 = 2179
47 2273 = 2273
48 2369 = 23 * 103
49 2467 = 2467
50 2567 = 17 * 151
Mike
Puntos
9379
Adam Kahtava
Puntos
383
Esto no se sostiene en un sentido fuerte. No sólo no hay polinomios que generen sólo primos (o sólo primos fuera de alguna progresión aritmética no trivial), sino que para cualquier polinomio dado la fracción de términos primos de 0 a N tiende a 0 a medida que N aumenta sin límite.
La lista de Will muestra que hay algunos compuestos hasta el 50, aproximadamente una cuarta parte de la lista, pero si vas más allá encontrarás compuestos del 50%, compuestos del 75%, compuestos del 99,9%, tan altos como quieras.
No se conoce la fracción asintótica precisa que es primo, pero hay una conjetura general de Bateman, Horn y Stemmler que aborda esto en detalle.
Geoff Robinson
Puntos
17610
Otra forma de cocinar los contraejemplos:Toma $n \equiv 1$ (mod $19$ ) y $n \geq 20.$ Entonces $n^{2}+n+17 \equiv 0$ (mod $19$ ), pero $n^{2} +n + 17 > (n^{2} +16) >19,$ así que $n^{2} + n + 17$ no es primo. Más generalmente, $x^{2}+x+17$ es estrictamente creciente en $(0, \infty),$ por lo que si encontramos un número entero $m > 0$ tal que $m^{2}+m +17 = q$ es un primo, entonces siempre que $n = m+tq$ para un número entero positivo $t,$ tenemos $n^{2}+n +17 \equiv 0$ (mod $q$ ), pero $n^{2}+n+17 >q,$ así que $n^{2} + n + 17$ no es primo. Por ejemplo, esto explica lo que ocurre en la tabla de Will Jagy para $n = 10$ y $n = 25,$ mirando $m =1, (q =19)$ y $m =2, (q = 23) $ respectivamente.
Usuario no registrado
Puntos
0
Hay muchos números además de los múltiplos de $17$ que no dan primos en esa fórmula.
Incluso con "desventajas" como la que das, simplemente no hay ningún polinomio que dé siempre primos. según Mathworld, Legendre lo demostró hace mucho, mucho tiempo: http://mathworld.wolfram.com/Prime-GeneratingPolynomial.html
Ver Sloane's A007636 .
