Esto es algo que el profesor Lee hizo en su libro sobre las variedades riemannianas:
Dada una Riemanniana $2$ -manifold de $M$ Aquí está una forma de intentar construir una extensión paralela de un vector $z\in T_p M$ Trabajar en cualquier coordenada local suave $(x^1,x^2)$ centrado en $p$ , primer transporte paralelo $z$ a lo largo del $x^1$ -y luego transportar en paralelo los vectores resultantes a lo largo de las líneas de coordenadas paralelas al $x^2$ -(Fig. 7.1). El resultado es un campo vectorial $Z$ que, por construcción, es paralela a lo largo de cada $x^2$ -y a lo largo de la línea de coordenadas $x^1$ -eje. La cuestión es si este campo vectorial es paralelo a lo largo de $x^1$ -líneas de coordenadas distintas de la $x^1$ -eje, o en otras palabras, si $\nabla_{\partial_1}Z\equiv 0$ . Observe que $\nabla_{\partial_1}Z$ desaparece cuando $x^2=0$ . Si pudiéramos demostrar que $$\nabla_{\partial_2}\nabla_{\partial_1}Z=0,\tag{7.1}$$ entonces se deduce que $\nabla_{\partial_1}Z\equiv 0$ porque el campo vectorial cero es el único transporte paralelo de cero a lo largo de la $x^2$ -Curvas. Si supiéramos que $$\nabla_{\partial_2}\nabla_{\partial_1}Z=\nabla_{\partial_1}\nabla_{\partial_2}Z,\tag{7.2}$$ entonces (7.1) se seguiría inmediatamente, porque $\nabla_{\partial_2} Z=0$ en todas partes por la construcción.
No estoy seguro de la terminología que utilizó aquí, como las extensiones paralelas, la $x^1$ -eje, líneas de coordenadas, y aquí es donde surgió mi pregunta. En un capítulo anterior, Lee dijo que un campo vectorial suave en $M$ se llama paralela si es paralela a lo largo de cada curva suave en $M$ . Así que asumo que Lee está tratando de extender un vector $z\in T_p M$ a un campo vectorial paralelo en una vecindad de $p$ . Entonces pienso un poco en las herramientas que tengo hasta ahora. Y se me ocurre que puedo considerar primero el transporte paralelo de $z$ a lo largo de la curva $$t\in x^1(U)\mapsto\phi^{-1}(t,0)\in M,$$ donde el par $(U,\phi)$ denota las coordenadas locales $(x^1,x^2)$ centrado en $p$ que es elegido por Lee. Supongo que la curva recién definida podría ser lo que Lee llama la $x^1$ -eje. Para más información sobre las curvas/líneas de coordenadas, se puede consultar Sistema de coordenadas - Wikipedia . Muy bien, tengo un campo vectorial paralelo a lo largo de una curva. ¿Qué es lo siguiente? No sé a qué se refiere Lee cuando dice: "... y luego transportar en paralelo el vector resultante s a lo largo del líneas de coordenadas paralela a la $x^2$ -eje ...". ¿Hay alguien que profundice en el contexto y quiera compartirlo conmigo? Gracias.
