¿Cómo definen rigurosamente una "curva que limita una superficie" en el Teorema de Stokes? ¿Puede más de una curva ser el límite de una superficie determinada sin que la integral sea la misma? ¿Y por qué la integral es la misma independientemente de la superficie?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
tcamps
Puntos
2107
He aquí un intento de respuesta inicial.
Una forma de formalizar la noción de una superficie y su límite es decir que se tiene un mapa (suficientemente suave) desde alguna superficie bidimensional colector con límite en su espacio tridimensional. Esto dice básicamente que cada punto de la superficie tiene una vecindad en la que la superficie puede deformarse suavemente en la forma de un "borde" estándar, como una vecindad de un punto que está en el interior o en el borde de un cuadrado ordinario. Resulta que no importa cuál sea la vecindad de un punto que se mire, siempre coincidirá si el punto está en el borde o no; si lo está, decimos que está en el límite. El límite siempre forma un colector unidimensional, lo que significa que cada punto tiene una vecindad que se puede deformar continuamente para que parezca un intervalo abierto.
La independencia de la superficie que elijas para cerrar el límite es análoga al hecho de que la integral de línea de un gradiente es independiente de la trayectoria. Existe un formalismo en el que son instancias de la misma cosa, llamado formas diferenciales . El artículo de wikipedia habla un poco sobre el teorema de Stokes para las formas diferenciales, y se puede encontrar una introducción elemental relativamente corta (menos de 100 páginas) en el libro de Spivak Cálculo sobre Múltiples o cualquier otro lugar. La transición del cálculo vectorial a las formas diferenciales es un importante rito de paso en la formación de cualquier matemático: véase una discusión y otras referencias aquí .
Realmente debería decir algo sobre cómo, geométricamente, funciona esto, y tal vez yo o alguien más lo haga.
