Dejemos que $V$ sea un espacio de producto interno real con una estructura ortogonal casi compleja $J:V\to V$ . Entonces podemos ver $V$ como un espacio vectorial complejo utilizando $J$ . Elija una base compleja $\{e_1,\dots,e_n\}$ pour $V$ con $\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}$ . Entonces se ve fácilmente que $\mathcal{B}=\{e_1,Je_1,\dots,e_n,Je_n\}$ es una base real para $V$ . ¿Es necesariamente cierto que $\mathcal{B}$ ¿es una base ortonormal? Tenemos $\langle e_i,Je_i\rangle= \langle Je_i,J^2e_i\rangle=\langle Je_i,-e_i\rangle$ Así que $Je_i$ es ortogonal a $e_i$ . Pero no puedo ver si $\langle e_i,Je_j\rangle=0$ pour $i\neq j$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La anormalidad real de una base compleja no no garantizar la ortonormalidad de la base real "extendida". Por ejemplo, identificar $\mathbf{R}^{4}$ con $\mathbf{C}^{2}$ equipado con la estructura natural compleja. Sea $a$ , $b$ y $c$ sean números reales positivos tales que $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ y considerar los vectores \begin{align*} e_{1} &= (1, 0, 0, 0) \sim (1, 0), & e_{2} &= (0, a, b, c) \sim (ai, b + ci), \\ Je_{1} &= (0, 1, 0, 0) \sim (i, 0), & Je_{2} &= (-a, 0, -c, b) \sim (-a, -c + bi). \end{align*} El conjunto $\{e_{1}, Je_{1}, e_{2}, Je_{2}\}$ es una base real, por lo que el conjunto real-ortogonal $\{e_{1}, e_{2}\}$ es una base compleja, pero $e_{1}$ y $Je_{2}$ no son ortogonales.
Pero espere: ¡este ejemplo contradice un "fenómeno bien conocido"...! Los detalles de la conciliación están ocultos en
- El término base compleja que se refiere a definir multiplicación escalar compleja por $$ (a + bi)v = av + bJv,\quad\text{$ a $, $ b $ real,} $$
- La estructura hermitiana $h$ utilizado para definir ortonormalidad de la base compleja.
Desde $J$ es ortogonal con respecto a un producto interno $g$ la fórmula $$ \omega(u, v) = g(Ju, v) $$ define una simetría sesgada $2$ -tensor en $V$ . (Prueba: aplicar $J$ a cada argumento de la derecha y utilizar la simetría de $g$ y $J^{2} = -I$ .) En consecuencia, $$ h(u, v) = g(u, v) + i\omega(u, v) $$ define un producto interno hermitiano (conjugado-simétrico) sobre $V$ .
Cuando decimos $\langle e_{i}, e_{j}\rangle = \delta_{ij}$ en la geometría compleja, solemos referirnos a $h(e_{i}, e_{j}) = \delta_{ij}$ . La desaparición de la parte imaginaria es precisamente la condición $\langle Je_{i}, e_{j}\rangle = 0$ para todos $i$ y $j$ . (En el ejemplo anterior, $h(e_{1}, e_{2})$ es puramente imaginario, pero no cero).
Geométricamente, decir que una base compleja es ortonormal (o unitario ) es decir que las líneas complejas atravesadas por los elementos de base son ortogonales como reales $2$ -subespacios dimensionales.
