Prueba de que la integración de Verlet conserva la energía

Question

Estuve leyendo sobre diferentes integradores que uno podría utilizar para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna el $n$ -Problema con el cuerpo. He leído que el integrador de Verlet es reversible en el tiempo y, por tanto, conserva la energía.

No entiendo por qué la reversibilidad del tiempo implica la conservación de la energía.

Supongamos que conozco la posición y la velocidad de cada uno de $n$ partículas en el sistema en algún momento $t_0$ . Calculo la energía $E_0$ del sistema en el momento $t_0$ . Utilizo el integrador de Verlet para calcular las posiciones y velocidades aproximadas de las partículas en el tiempo $t_0+dt$ (un paso de tiempo) y vuelvo a calcular la energía del sistema y encuentro que es $E_1$ . ¿Es cierto que $E_0=E_1$ ? ¿Y hay una manera fácil de demostrarlo?

Answer 1

En primer lugar, el integrador de Verlet sólo conserva la energía en el límite $\Delta t\to 0$ . En la práctica, produce una deriva energética, aunque la deriva energética a largo plazo es menor que la de la mayoría de los integradores.

En cuanto a su pregunta, la esencia del argumento es que los integradores que son no do reversible en el tiempo no exhiben la llamada conservación de la zona. Esto significa básicamente que el volumen del espacio de fase de energía constante $E$ evolucionará a un más grande volumen del espacio de fase a lo largo del tiempo, por lo que necesariamente abarcará una región del espacio de fase con diferentes energías.

La demostración rigurosa de esta propiedad es complicada, por lo que la mayoría de las fuentes (incluida esta respuesta mía) omiten los detalles y proporcionan una justificación a mano. El libro de Frenkel y Smit Understanding Molecular Simulation ofrece una revisión de este tema con multitud de citas, por si te interesa.