Es la dimensión de un edificio finitamente generado $K$ -subálgebra de $K[X_1,\ldots,X_n]$ delimitado por $n$ ?

Question

Dejemos que $K$ sea un campo. ¿Existe un ejemplo de un campo generado finitamente $K$ -subálgebra $$ A\subseteq K[X_1,\ldots, X_n] $$ de dimensión Krull $\dim A>n$ ? En caso afirmativo, ¿existe un ejemplo de este tipo para $n=1$ ?

Answer 1

Esto no es posible.

La dimensión de Krull de un edificio finitamente generado $K$ -Álgebra $A$ que es un dominio integral es igual al grado de trascendencia de $Q(A)$ (el campo de las fracciones de $A$ ) sobre $K$ . Desde $Q(A)\subset K(X_1,\dots,X_n)$ y el grado de trascendencia de $K(X_1,\dots,X_n)$ en $K$ es $n$ hemos terminado.