Encuentra la parte principal de la serie de Laurent

Question

Encuentra la parte principal de la siguiente serie de Laurent: $$\frac{z^{2}}{z^{4}-1}$$ pour $0< |z-i| <\sqrt{2}$

Intento:

$$\frac{z^{2}}{z^{4}-1} = \frac{1}{2(z^2+1)} + \frac{1}{2(z^2-1)} = \frac{1}{2(z+i)(z-i)} + \frac{1}{2(z-1)(z+1)} \text{ (1)}$$

También, $$\frac{1}{z+1} = \frac{1}{(1+i)(1 + \frac{z-i}{1+i})} = \frac{1}{1+i}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(\frac{z-i}{1+i})^n$$

y

$$\frac{1}{z+i} = \frac{1}{2i(1 + \frac{z - i}{2i})} = \frac{1}{2i}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(\frac{z-i}{2i})^n$$

Por lo tanto, la parte principal del LHS en (1) es $\frac{1}{4i(z-i)}$ y desde el RHS, será $0$ Supongo que sí. Por lo tanto, la parte principal debería ser $\frac{1}{4i(z-i)}$ .

¿Estoy en lo cierto? Todavía no estoy seguro de la última parte (parte principal de $\frac{1}{2(z-1)(z+1)}$ ser $0$ ). ¿Alguien puede dar consejos?

Answer 1

Observe que en el dominio dado su función sólo tiene un polo simple, a saber $\;z=i\;$ y, por tanto, la parte principal de su serie de Laurent sólo contendrá un único elemento, a saber $\;\cfrac{a_{-1}}{z-i}\;$ . En este caso, por tanto, la forma más fácil de resolver su problema es evaluando el residuo $\;a_{-1}\; $ utilizando la fórmula de Cauchy:

$$a_{-1}=\lim_{z\to i}(z-i)f(z) =\lim_{z\to i}\frac{z^2}{(z+i)(z^2-1)}=\frac{-1}{2i(-1-1)}=\frac1{4i}$$

y por lo tanto sí: su trabajo es correcto.