$L$ -de una curva elíptica y clase de isomorfismo

Question

Dejemos que $E$ sea una curva elíptica definida sobre $\mathbb{Q}$ . Tenemos un $L$ -función $$L(E,s)$$ construido a partir de los parámetros locales $a_p(E)$ .

Si dos curvas elípticas son isomorfas, es evidente que tienen la misma $L$ -función.

¿Y lo contrario? Si dos curvas elípticas $E,E'$ en $\mathbb{Q}$ tienen el mismo $L$ -función, ¿qué se puede decir de ellos? ¿Serán isomorfas? ¿Isógenas? ¿O una de estas propiedades se cumple para la "mayoría" de las curvas? En otras palabras, ¿este análisis "local" de la curva la caracteriza?

Answer 1

Isógeno.

Un teorema de Faltings dice que dos curvas elípticas $E_1$ et $E_2$ sobre un campo numérico $F$ son isógenos si y sólo si tienen la misma $L$ -factores en casi todos los lugares. Véase, por ejemplo, este artículo , Teorema 3.1, o encontrar la fuente:

G. Faltings, Finiteness theorems for abelian varieties over number fields, Invent. Math. 73 (1983), 349-366.

Efectivamente, hay casos en los que dos curvas elípticas son isógenas, no isomorfas, y todas las $L$ -factores son idénticos. Por ejemplo, tomemos $E_1$ et $E_2$ sean las curvas 11a1 y 11a2, respectivamente, como en las tablas de Cremona . Como indica la notación, las dos curvas comparten una isogenia. Entonces, $$j(E_1)=-122023936/161051 \neq -52893159101157376/11 = j(E_2),$$ por lo que las curvas no son isomorfas. Se puede comprobar que todas las $L$ -coinciden en este caso (en general, pueden diferir en los primos de mala reducción, pero aquí ambos tienen mala reducción en 11, y ambos tienen mala reducción multiplicativa dividida, por lo que obtienen lo mismo $L$ -factor a 11). Por ejemplo, puede verificar esto usando Sage o MAGMA, y comprobar que $$L(E_1,1)=L(E_2,1)=0.253841860855910684337758923351\ldots$$ En particular, su rango de Mordell-Weil es $0$ .