Un espacio vectorial real es un espacio de producto interno si cada subespacio bidimensional es un espacio de producto interno?

Question

¿Es cierto que un espacio vectorial sobre el campo de los números reales es un espacio de producto interno si cada subespacio bidimensional es un espacio de producto interno? ¿Tiene algo que ver con el resultado de Neuman-Jordan de que si en un espacio lineal real normado la igualdad del paralelogramo $||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y|^2)$ se mantiene siempre , entonces la norma proviene de un espacio de producto interno ?

Answer 1

Voy a suponer que por producto interior del espacio te refieres a que hay un producto interior $\langle -,-\rangle$ que da la norma específica. En ese caso bajo las condiciones dadas tenemos que en cada subespacio bidimensional existe una forma tal que satisface $$\|x+y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2+2\langle x,y\rangle$$ Así, $$(x,y)\mapsto \frac12(\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2)$$ es una forma bilineal simétrica positiva definida en todo el espacio que da la norma, por lo que el espacio con la norma dada es un espacio de producto interno.