Las funciones de $x$ $x^2 - {1\over2}$ son ortogonales con respecto a su producto interior en el intervalo [0, 1]. Sin embargo, al graficar las dos funciones, que no se ven ortogonal a todos. Entonces, ¿qué realmente significa para ambas funciones ortogonales?
Considere estas dos funciones definidas en una cuadrícula de $x\in\{1,2,3\}$:
$$f_1(x)=\sin\left(\frac{\pi x}2\right),$$ $$f_2(x)=\cos\left(\frac{\pi x}2\right).$$
Su trama se parece a
Si miramos el gráfico, no se ven ortogonal a todos, ya que las funciones representadas en la OP. Sin embargo, ser interpretada como vectores $(1,0,-1)^T$$(0,-1,0)^T$, de hecho, son ortogonales con respecto al producto escalar usual. Y esto es exactamente lo que se entiende por "ortogonal de funciones" - ortogonalidad con respecto a algún producto interior, no ortogonalidad de las curvas de $y=f_i(x)$.
La función de los espacios que tienen un producto interior y se completa con arreglo a la inducida por la norma, es decir, espacios de Hilbert, tienen su propia clase de infinito-dimensional de la geometría. Uno debe considerar la posibilidad de "funciones" que pertenecen a una función de este tipo de espacio como "puntos" acostado en un infinito-dimensional espacio geométrico. En dichos espacios, la noción de "ortogonal de funciones" se interpreta geométricamente, de forma análoga a cómo en lo finito-dimensional espacio Euclidiano tenemos una noción geométrica de "vectores ortogonales."
Vectores ortogonales en un espacio de Hilbert son, al igual que en el espacio Euclidiano, de ordenación de la "mayoría" linealmente independientes que usted puede conseguir. En el espacio Euclidiano, si $a$ $b$ son vectores, entonces uno puede tomar la proyección de $a$ a $b$, decir $p(a,b)$, y entonces uno puede escribir $a = p(a,b) + o(a,b)$ donde $o(a,b)$ es la parte de la $a$ ortogonal a $b$. Al $a$ $b$ son ortogonales, $p(a,b)$ se desvanece y sólo tiene el ortogonal parte $o(a,b)$, lo que en este sentido ninguna parte de $a$ pertenece al subespacio generado por $b$.
La misma cosa sucede en el infinito-dimensional de Hilbert espacios (nota mi argumento anterior utilizamos nada acerca de dimensiones finitas). En realidad no podemos trazar infinitas dimensiones del espacio, por lo que esta noción geométrica de ortogonalidad se interpreta de manera abstracta.
La manera en la que las funciones son ortogonales sólo tiene una muy abstracta parecido a la forma en que los vectores en $\Bbb R^2$ son ortogonales. Lo hace no quiere decir que los gráficos son geométricamente ortogonal de alguna manera, las funciones no son las mismas que sus gráficos. Usted debe pensar en "ortogonal" como una metáfora: las funciones son ortogonales debido a que su producto interior es cero. Esto es análogo, pero no es el mismo, la forma en que dos vectores en $\Bbb R^2$ punto en geométricamente direcciones perpendiculares si su producto interior (un diferente producto interior) es cero.
Matemáticas funciona mediante la identificación de patrones comunes y la comprensión de ellos en una manera que es a la vez más general y más abstracta. Por la generalización y la abstracción de la noción de ortogonalidad de dos vectores, podemos aplicar las técnicas de álgebra lineal a la función de los espacios.
Las funciones pueden ser sumados, ajuste de escala constantes, y tomar en la combinación lineal, como el tradicional Euclidiana vectores.
$$\vec{u} = a_1\vec{v}_1 + a_2\vec{v}_2 + \cdots a_n\vec{v}_n$$
$$g(x) = a_1f_1(x) + a_2f_2(x) + \cdots + a_nf_n(x) $$
Así como $\left( \begin{array}{c} 5\\ 2\\ \end{array} \right) = 5\left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array} \right) + 2\left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ \end{array} \right) $, I can say $5x + 2x^2 - 1 = 5(x) + 2(x^2 - \frac{1}{2})$
"Ortogonalidad" es una medida de la cantidad de dos vectores tienen en común. En una base ortogonal, los vectores no tienen nada en común. Si este es el caso, puedo conseguir un determinado vector de componentes en base a esto fácilmente debido a que el producto interior con una base de vectores que hace que todos los otros vectores de la base en la combinación lineal ir a cero.
Si yo conozco a $\left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0.5\\ \end{array} \right)$, $\left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array} \right)$ y $\left( \begin{array}{c} 2\\ 0\\ -4\\ \end{array} \right)$ son ortogonales. Puedo obtener rápidamente los componentes de cualquier vector en base a:
$$\left( \begin{array}{c} 8\\ -2\\ 5\\\end{array} \right) = un\left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0.5\\ \end{array} \right) + b\left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array} \right) + c\left( \begin{array}{c} 2\\ 0\\ -4\\ \end{array} \right)$$
$$\left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0.5\\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 8\\ -2\\ 5\\\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0.5\\ \end{array} \right) \cdot \big[ un\left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0.5\\ \end{array} \right) + b\left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array} \right) + c\left( \begin{array}{c} 2\\ 0\\ -4\\ \end{array} \right) \big]$$
Sé el $b$ $c$ plazo de desaparecer debido a la ortogonalidad, así que me puse a cero y olvidar todo acerca de ellos.
$$8.25 = 1.25 a$$
También puedo obtener la función de base de los componentes fácilmente de esta manera. Tomar la serie de fourier en $[0,T]$ por ejemplo, que es sólo una (infinitamente largo) combinación lineal de los vectores/funciones:
$$ f(x) = a_0 + \sum_n^\infty a_ncos(\frac{2\pi n}{T}x) + \sum_n^\infty b_nsin(\frac{2\pi n}{T}x) $$
Sé que todos los $cos$ $sin$ funciones de base son ortogonales, así que puede tomar el producto interior con $cos(\frac{2\pi 5}{T}x)$ y fácilmente obtener una fórmula para la $a_5$ coeficiente de porque todos los otros términos se desvanecen cuando hago un producto interior.
$$\int cos(\frac{2\pi 5}{T}x) f(x) dx = a_5 \int cos^2(\frac{2\pi 5}{T}x) dx$$
Por supuesto, yo podría hacer esto en general con $cos(\frac{2\pi q}{T}x)$ para obtener cualquiera de las $a_q$ componentes.
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