¿Cuál de los siguientes admite una solución única?

Question

Cuál de los siguientes problemas de valor límite en dos puntos admite una solución única?

$1$$ . u''(x) = 2x$ en $0 < x < 1 $ et $u(0) = u(1) = 0$

$2$$ . u''(x) = 2x$ en $0 < x < 1 $ et $u(0) = u'(1) = 0$

$3$$ . u''(x) = 2x$ en $0 < x < 1 $ et $u'(0) = u'(1) = 0$

$4.$ Ninguno de ellos

Mi intento : $ u''=-2x \implies r^2=-2$

así que $r= \pm \sqrt2i$

Por lo tanto, $u(x)= c_1 \cos (\sqrt2x) + c_2 \sin (\sqrt2x)\tag1$

si $u(0)=0$

entonces $u(0)=c_1=0 $

Si $u(1) =0$ y luego poner $c_1 =0 $ en $(1)$ , entonces obtenemos $c_2=0$

Aquí no podemos determinar de forma única $c_2$ por lo que hay infinitas soluciones

Del mismo modo, podemos utilizar el mismo método para la opción $2)$ et $3)$

Así que creo que la respuesta será ninguno de estos es decir, la opción $4$ será correcto

Answer 1

$u''=-2x.$ Integrar con respecto a x para obtener $u'=-x^2+A$ integrar de nuevo para conseguir $$u(x)=-x^3/3+Ax+B~~~(1)$$ $u(0)=0$ da $B=0$ entonces $u(1)=0$ da $0=-1/3+A \implies A=1/3$ . Así que obtenemos la solución única como $u(x)=-x^3/3+1/3$

Siguiente. de (1) $u(0)=0 \implies B=0$ et $u'(1)=0$ da u'(x)=-x^2+A \implies $A=2$ , por lo que la solución es $u(x)=2x-x^2$

$u'(0)=0$ da $A=0$ entonces $u'(x)=-x^2$ , donde $u'(1) \ne 0$ . Así que no hay solución.

Answer 2

Tanto la 1 como la 2 son las respuestas correctas:

U"=-2x, U'= $-x^2+C$ , U=- $\frac{x^3}{3}+Cx+D$

1: U(0)=U(1)=0, D=0, C= $\frac{1}{3}$ , $\to$ U= - $\frac{x^3}{3}$ + $\frac{1}{3}$ x

2. U(0)=U'(1)= 0, D=0,C=1 $\to$ U= - $\frac{x^3}{3}$ +x