Dejemos que $(M,g)$ sea una variedad riemanniana y $N\subset M$ un submanifold.
En $N$ podemos poner la métrica riemanniana inducida.
¿Existe una "forma inteligente" de verificar si $N$ con la métrica inducida es totalmente geodésica?
Respuestas
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Alex M.
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En primer lugar, no existe tal cosa como $c''(0)$ - Las diferenciales de segundo orden no están definidas en la geometría diferencial.
En segundo lugar, lo que se podría intentar hacer es calcular la segunda forma fundamental de $N$ en $M$ : será $0$ si y sólo si $N$ es totalmente geodésico en $M$ . Esto es fácil de decir en teoría, pero bastante más complicado de hacer en la práctica.
Como dijo Alex M., se puede calcular la segunda forma fundamental para ver si es cero. Creo que también es relevante mencionar que el conjunto de puntos fijos de una isometría es totalmente geodésico. Esto no es tan útil si te entregan un submanifold $N$ y quiere saber si $N$ es totalmente geodésico (ya que sólo es suficiente pero no necesario). Pero puede ser útil a veces si quieres encontrar algunos submanifolds totalmente geodésicos.
