¿Podría alguien ayudarme con este pequeño problema de geometría de cuadriláteros?
En el rectángulo $ABCD$, sea $K$ el punto medio del lado $AD$. Si sabemos que $AD/AB =\sqrt{2}$, encuentra el ángulo entre $BK$ y la diagonal $AC$.
Se asume que el problema puede resolverse utilizando el teorema de Pitágoras.
He intentado un poco de todo pero no logro encontrar cómo argumentar bien la respuesta, espero que puedas ayudarme.
No necesitas el trigonometria explicito. Ya que $AK=\frac {AD} 2$ tenemos:
$$\frac {AB}{AK} = 2 \frac {AB}{AD} =\sqrt 2$$
Y puedes proceder a demostrar que los triangulos $ABK$ y $ACD$ son similares (ambos son rectangulos). A partir de lo cual trazar angulos iguales te da tu respuesta.
Las razones trigonometricas son (entre otras cosas) una forma conveniente de codificar la similitud. A veces la geometria pura es mas simple.
El ángulo entre $BK$ y $AC$ es la diferencia entre los ángulos que cada uno hace con el eje $x$
El ángulo de $BK$ es $\phi_1 = \tan^{-1} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}/2} \right) = \tan^{-1} \left(\sqrt{2}\right)$
El ángulo de $AC$ es $\phi_2 = \pi - \tan^{-1} \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) $
Por lo tanto, el ángulo entre ellos es
$ \phi =\phi_2 - \phi_1= \pi - \tan^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) - \tan^{-1}\left(\sqrt{2}\right) $
Tomando la tangente del ángulo $\phi$, obtenemos
$ \tan(\phi) = - \dfrac{ \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2} }{ 1 - \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} } = \text{indefinido} $
Dado que la tangente del ángulo $\phi$ es indefinida, entonces se sigue que $\phi = 90^\circ$.
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¿Puedes encontrar algún triángulo similar? No se te dan longitudes absolutas y no estás buscando una longitud, por lo que es poco probable que Pitágoras ayude mucho. Lo que se te da es una proporción que indica que la similitud podría estar involucrada (o tal vez simples razones trigonométricas).