¿Son (∀x∈A)(∃y∈B)(x≤y) y (∃y∈B)(∀x∈A)(x≤y) iguales?

Question

¿Las declaraciones $$(xA)(yB)(xy)$$ et $$(yB)(xA)(xy)$$ significan lo mismo, aunque los dos primeros paréntesis estén invertidos?

P.D: Digamos que tengo una frase: No hay ningún número de A, por lo que sería mayor que todos los números de B.

Answer 1

No, no son lo mismo. En general, el significado cambia al permutar diferentes cuantificadores (sin embargo $(\forall x\in A)(\forall y\in B)$ et $(\forall y\in B)(\forall x\in A)$ son iguales, y lo mismo ocurre con $\exists$ ).

Para ver por qué los dos enunciados que has dado tienen significados diferentes, empieza por traducirlos al inglés: el primero dice "For every element of $A$ hay un elemento de $B$ más grande que ella" mientras que la segunda dice "Hay un elemento de $B$ mayor que cada elemento de $A$ ". Observa que lo segundo implica lo primero, pero lo primero no implica lo segundo.

Ahora debe tratar de encontrar un ejemplo de $A$ et $B$ subconjuntos de, por ejemplo, $\mathbb R$ , de manera que la primera afirmación se cumple pero no la segunda.

Answer 2

Estas dos afirmaciones no significan lo mismo. Dejemos que $A,B = \mathbb{N}$ .

La primera declaración es verdadero para cualquier $x \in \mathbb{N}$ podemos tomar $y=x+1$ .

La segunda declaración es falso no existe un límite superior para los números naturales.

Answer 3

Ejemplo: dejar que $A=B= \mathbb R$ et $" \le "$ sea el orden habitual en $ \mathbb R.$

Si $x \in A$ entonces $y:=x+1 \in B$ et $x \le y.$

Por lo tanto, tenemos $(\forall x \in A)(\exists y \in B)(x \le y)$ .

Pero $(\exists y \in B)(\forall x \in A)(x \le y)$ significa que $ \mathbb R$ está acotado desde arriba.

Answer 4

$A=B=(0,1)$ es un contraejemplo.

Answer 5

Como menciona Scientifica en su respuesta, traducir el enunciado lógico a una frase ayuda. Si puedes simplificar la frase hacia un lenguaje más natural, hazlo. Además, a menudo es instructivo considerar un caso especial. Y aún mejor, combinar las dos cosas y escribir frases sobre un caso especial.

Si $A=B=\mathbb N$ entonces las declaraciones son:

1. $(∀x∈A)(∃y∈B)(x≤y)$ - "para cualquier número natural, hay un número que es al menos tan grande"
2. $(∃y∈B)(∀x∈A)(x≤y)$ - "hay un número natural más grande"

Escrito así, el problema es bastante fácil. Y eso suele ser difícil en matemáticas: reescribir un problema para que sea fácil. Eso puede ser difícil.

Esto también debería ayudarle a hacerse una idea de lo que podría ocurrir con conjuntos más generales $A$ et $B$ . Una vez que se tiene una idea del fenómeno a partir de un ejemplo, los casos más generales son más fáciles de entender.

Si tienes problemas para entender por qué son traducciones correctas, házmelo saber y puedo darte detalles.

---

Has dado esta frase: "No hay ningún número de A, por lo que sería mayor que todos los números de B". Esto es literalmente $\neg(∃x∈A)(∀y∈B)(x>y)$ . Utilizando las reglas básicas de las negaciones y los cuantificadores, se puede ver que esto es equivalente a $(∀x∈A)(∃y∈B)(x≤y)$ .

De hecho, sólo el primer enunciado lógico simbólico expresa la idea que has escrito con palabras. Si al final tienes dos candidatos y no estás seguro, como en esta pregunta, deletrear los dos en lenguaje natural ayuda.